【７】シルベスターの終結式

　　ｆ（ｘ）＝ａ0ｘ^n＋ａ1ｘ^(n-1)＋・・・＋ａn-1ｘ＋ａn

　　ｇ（ｘ）＝ｂ0ｘ^m＋ｂ1ｘ^(m-1)＋・・・＋ｂm-1ｘ＋ｂm

が共通因子をもつための必要十分条件は，ｎ＋ｍ次の行列式：Ｒｅｓ（ｆ，ｇ）

　　｜ａ0　ａ1・・・ａn・・・・・・０｜

　　｜０ 　ａ0　ａ1・・・ａn・・・０ ｜

　　｜・・・・・・・・・・・・・・・ ｜

　　｜０・・・・・・ａ0　ａ1・・・ａn｜＝０

　　｜ｂ0　ｂ1・・・ｂm・・・・・・０｜

　　｜０ 　ｂ0　ｂ1・・・ｂm・・・０ ｜

　　｜・・・・・・・・・・・・・・・ ｜

　　｜０・・・・・・ｂ0　ｂ1・・・ｂm｜

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f(x)=x^2+5x+6

g(x)=x^2+x-2

|1,5,6,0|

|0,1,5,6|

|1,1,-2,0|

|0,1,1,-2|

=0であるから、共通因子を持たなければならない。→(x+2)

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２変数の２本の曲線f(x,y)=0,g(x,y)=0の交わりについて、これらの曲線が

A(x,y)f(x,y)+B(x,y)g(x,y)=0

と表される方程式によって与えられるとする。

たとえば、f(x,y)=y-x^2,g(x,y)=y-9の場合、交点は(3,9),(3,-9)

曲線y-x^3+9x-9=0はこの２点を通っている

y-x^3+9x-9=-x(x^2-y)+(y-9)(1-x)=-xf(x,y)+(1-x)g(x,y)

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f(x,y)=xy=0,g(x,y)=y-2x+x^2=0

から変数ｙを消去する

終結式R1(x)=x(x^2-2x)

変数xを消去する

終結式R2(y)=y^3

２本の曲線の交点は(0,0)２重、および(2,0)である

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f(x,y)=x^2-y^2=0,g(x,y)=x-y+x^2=0

から変数ｙを消去する

終結式R1(x)=-x^3(x+2)

変数xを消去する

終結式R2(y)=y^3(y-2)

２本の曲線の交点は(0,0)3重、および(-2,2)である

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