【１】代数曲線と代数曲面

　１８，１９世紀になると，２次曲線論に続いて３次および４次曲線について論じられた．３次曲線の分類には，２次曲線とは異なった種類の難解さが要求されたが，ニュートンはあらゆる場合を考察して，最終的に３次曲線は全部で７８種類が必要であることを示すに至り，さらに３次曲線の一般式が５個の標準形に帰することを示した．

　代数幾何学において重要な変換に双有理変換（クレモナ変換）があるが，ニュートンは楕円，放物線，双曲線から３次曲線を得るのに双有理変換を使っている．この例からわかるように代数曲線の次数は双有理変換で不変ではないが，種数は不変である→［補］．

　ニュートンの３次曲線の分類に引き続いて，オイラーは４次平面曲線の分類を企てたが，可能な場合の数が非常に多いという理由で断念している．この問題に対する答えは長い間知られていなかったが，プリュッカーが１９世紀に４次曲線の１５２の型を数え上げることによって解かれた．プリュッカーはオイラーが４次曲線の分類で犯した多くの誤りを見つけたが，１８世紀の解析幾何とは違って，高次曲線，曲面は解析幾何の対称ではなく，代数幾何の分野となった．

　１８４９年，ケーリーは滑らかな３次曲面はすべてある一定数の直線を含むこと，サーモンはその数は２７であることを証明した．１次曲面（平面）は∞^2個，２次曲面は∞^1個の直線を含み，一般の３次曲面では（少なくとも１本の直線を含むが）その数は高々有限個（２７本）である．それに対して，一般のｎ次曲面（ｎ＞３）は直線を全然含んでいない．

　シュレーフリは３次曲面上の２７本の直線の組に従って，滑らかな実３次曲面を５組に分類した．この５組にはそれぞれ２７，１５，７，３，３本の実直線，そして３直線を含む実平面が４５，１５，５，７，１３入っている．

　アルキメデスの墓石に円柱・円錐・球，ガウスの墓石に正１７角形が彫られた如く，ケーリーとサーモンの墓石には２７本の直線を彫るべきだとシルベスターがいったことは１９世紀にこれらの３次曲線がいかに重要視されたかを物語るものだろう．

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