【３】簡約２次形式と類数

　それでは，与えられた判別式ｄをもつ簡約２次形式は何個あるのだろうか？判別式ｄの簡約２次形式の個数を類数と呼び，ｈ（ｄ）と書く．たとえばｄ＝−４のとき，３ａｃ≦４よりａ＝ｃ＝１，ｂ＝０．したがってｈ（−４）＝１

　−ｄ＝４ａｃ−ｂ^2≧３ａｃ→−ａ＜ｂ≦ａ＜ｃまたは０≦ｂ≦ａ＝ｃより，（ａ，ｃ）を定め，それらに対しｂ^2＝４ａｃ＋ｄより，ｂが定められるかどうかを見てみよう．

［１］ｄ＝−３

　３ａｃ≦３→（ａ，ｃ）＝（１，１），ｂ＝±１．しかし，変換

　　［ｘ］＝［１，−１］［ｘ’］

　　［ｙ］　［０，　１］［ｙ’］

により（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，１）と（１，−１，１）は同値．ゆえにｈ（−３）＝１

［２］ｄ＝−４，ｈ（−３）＝１

［３］ｄ＝−７

　３ａｃ≦７→（ａ，ｃ）＝（１，２），ｂ＝±１．（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，２）と（１，−１，２）は同値．ゆえにｈ（−７）＝１

［４］ｄ＝−８

　３ａｃ≦８→（ａ，ｃ）＝（１，２），ｂ＝０．ｈ（−８）＝１

［５］ｄ＝−１１

　３ａｃ≦１１→（ａ，ｃ）＝（１，３），ｂ＝±１．（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，３）と（１，−１，３）は同値．ゆえにｈ（−１１）＝１

［６］ｄ＝−１９

　３ａｃ≦１９→（ａ，ｃ）＝（１，５），ｂ＝±１．（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，５）と（１，−１，５）は同値．ゆえにｈ（−１９）＝１

［７］ｄ＝−４３

　３ａｃ≦４３→（ａ，ｃ）＝（１，１１），ｂ＝±１．

　　　　　　　　（ａ，ｃ）＝（１，１３），ｂ＝±３．

しかし，変換

　　［ｘ］＝［１，−１］［ｘ’］

　　［ｙ］　［０，　１］［ｙ’］

により（１，１，１１）→（１，−１，１１），（１，３，１３）→（１，１，１１），（１，−１，１１）→（１，−３，１３）．ゆえにｈ（−４３）＝１

［８］ｄ＝−６７

　３ａｃ≦６７→（ａ，ｃ）＝（１，１７），ｂ＝±１．

　　　　　　　　（ａ，ｃ）＝（１，１９），ｂ＝±３．

しかし，変換により（１，１，１７）→（１，−１，１７），（１，３，１９）→（１，１，１７），（１，−１，１３）→（１，−３，１９）．ゆえにｈ（−６７）＝１

［９］ｄ＝−１６３

　３ａｃ≦１６３→（ａ，ｃ）＝（１，４１），ｂ＝±１．

　　　　　　　　　（ａ，ｃ）＝（１，４３），ｂ＝±３．

　　　　　　　　　（ａ，ｃ）＝（１，４７），ｂ＝±５．

　　　　　　　　　（ａ，ｃ）＝（１，５３），ｂ＝±７．

しかし，変換により（１，１，４１）→（１，−１，４１），（１，３，４３）→（１，１，４１），（１，−３，４３）→（１，−５，４７），（１，５，４７）→（１，３，４３），（１，７，５３）→（１，５，４７），（１，−５，４７）→（１，−７，５３），（１，−１，４１）→（１，−１，４３）．ゆえにｈ（−１６３）＝１．

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