次数ｋの曲線と次数ｍの曲線はｋｍ個の点で交わる

次数が1の直線と次数ｍの曲線はｋ個の点で交わる

ところが、y=x^2とy-9=3(x-3)は1点(3,9)でしか交わらない。直線はこの点で曲線と接している。接点は二重にわる点と数えることにする。

x=3も(3,9)でしか交わらない。したがって、無限遠点とも交わると考えるしかないので、射影空間へと移しこむ。

y=-1は放物線とは交わらない。したがって、複素数の座標を導入せざるを得ない。

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実射影的な２次元の空間はR^3において原点を通る直線のすべてからなっており、直線は射影空間内の点(at,bt,ct)=[a,b,c]とみなされる。

(x,y)=[x,y,1]

とすると

放物線y=x^2はYZ=X^2

直線x=3はX=3Z

したがって[3,9,1],[0,1,0]で交わる

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