【７】２元３次形式（ケイリー）

　　ｆ＝ａｘ^3＋３ｂｘ^2ｙ＋３ｃｘｙ^2＋ｄｙ^3　　　（係数についての次数１）

　　Ｄ＝ａ^2ｄ^2−６ａｂｃｄ＋４ａｃ^3＋４ｂ^3ｄ−３ｂ^2ｃ^2　　　（判別式，次数４）

ｈ＝Ｈ／６^2　　　（Ｈはｆのヘシアン，次数２）

ｊ＝Ｊ／３　　　　（Ｊは（ｆ，ｈ）のヤコビアン，次数３）

　これらの間の関係は，６次の多項式

　　ｊ^2＝ｆ^2Ｄ−４ｈ^3

で与えられる．

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２変数２次形式ax^2+bxy+cy^2は変数の線形変換によってa'x^2+b'xy+c'y^2に移されたとする

このとき,b'^2-4a'c'=δ^2(b^2-4ac)

であり、b^2-4acは２次形式の不変式と呼ばれる。

一般に不変式は係数によって表現されるが、共変式は係数と変数で表現される。

たとえば、２変数３次形式fのただひとつの不変式d,３つの共変式f,H,Jで表現される環は

一つの等式4H^2=df^2-J^2を満たす。

このdとHは

3次式が相異なる３つの根を持つ条件:d≠0

3次式が2重根とそれと異なる根を持つ条件:d＝0，Ｈ≠0

3次式が3重根を持つ条件:d＝0＝Ｈ

など重要な意味を持っている。

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