［Ｑ］６１ａ^2＋１が平方数ｂ^2となるような，整数ａ，ｂを求めよ．

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バースカラは(m+8)/3が整数となるものの中で、m^2-61ができる限り小さくなるものを見つけ出した→m=7

→(5,39)が方程式61x^2-4=y^2の解であることを見つけ出す。

　　Ｄ＝６１，（ｘ，ｙ）＝（１８６６３１９０４９，２２６１５３９８０）が最小解となる

　たとえば，ｘ＝７，ｙ＝１のとき

　　４９−６１＝１２

［１］ブラーマグプタの恒等式

　　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2＋Ｎｙ1ｙ2）^2−Ｎ（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

に

　　Ｎ＝６１，ｘ1＝ｘ2＝７，ｙ1＝ｙ2＝１

を代入すると

　　１２^2＝（４９+６１）^2ー６１・（１４）^2

　　１２^2＝（１１０）^2ー６１・（１４）^2

　　１＝（１１０/１２）^2ー６１・（１４/１２）^2

　　１＝（５５/６）^2ー６１・（７/６）^2

　　Ｎ＝６１，ｘ1＝ｘ2＝55/6，ｙ1＝ｙ2＝7/6

(55/6^2-61・7/6^2)^2=((55/6)^2+61(7/6)^2)^2-61(385/36・2)^2

1=(6014/36)^2-61(770/36)^2

1=(3007/18)^2-61(385/18)^2

{(3007/18)^2-61・(385/18^2)}^2=(18083774/324)^2-61(3007・385・2/18^2)^2

1=(18083774/324)^2-61(2315390/324)^2

単純にこの繰り返しはつらい・・・

ｘ1＝ｘ2＝39、ｙ1＝ｙ2＝5から始めてみたい

39^2-61・5^2=1521-1525=-4

16=(39^2+61・5^2)^2-61(39・5・2)^2=(3046)^2-61(390)^2

1=(3046/4)^2-61(390/4)^2

x=1523/2,y=195/2

{(1523/2)^2-61(195/2)^2}^2=(251952/4+61・38025/4)-61(1523・195・2/4)^2

1=(2571477/4)^2-61(593970/4）^2

x=2571477/4,y=593970/4

これ以上計算できない

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　一般に

　　ｘ^2−Ｄｙ^2＝１

なる問題はペル方程式の問題であるが，Ｄ＝６１の場合は極端の難しくなる．

　　Ｄ＝６１，（ｘ，ｙ）＝（１８６３１９０４９，２２６１５３９８０）

　Ｄが９９までの範囲で，ｙが５桁以上となるのは，ほかに

　　Ｄ＝７３，（ｘ，ｙ）＝（２２８１２４９，２６７０００）

　　Ｄ＝８５，（ｘ，ｙ）＝（２８５７６９，３０９９６）

　　Ｄ＝８９，（ｘ，ｙ）＝（５０００００１，５３０００）

　　Ｄ＝９４，（ｘ，ｙ）＝（２１４３２９５，２２１０６４）

　　Ｄ＝９７，（ｘ，ｙ）＝（６２８０９６３３６３７７３５２）

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