【１】２元２次形式

　　Ｐ＝ａｘ^2＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^2　　　（Ｄ＝ｂ^2−ａｃ）

を線形変換

　　［ｘ］＝［α，β］［ｘ’］

　　［ｙ］＝［γ，δ］［ｙ’］

すると

　　Ｐ’＝ａ’ｘ’^2＋２ｂ’ｘ’ｙ’＋ｃ’ｙ’^2　　　（Ｄ’＝ｂ’^2−ａ’ｃ’）

　　Ｄ’＝ｒ^2Ｄ，ｒ＝αδ−βγ

となる．ここで，判別式Ｄは特別な仕方で変化する量（Ｄ’＝ｒ^2Ｄ）であって，もしｒ^2＝１ならば変化しない不変式である．

　ｘ^2＋ｙ^2は４ｎ＋１型素数をすべて表現し，どの４ｎ＋３型素数も表現しない．２平方和定理は「４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在する」であるが，フェルマーはまた，

　　「ｐが８で割ると１または３余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2」

　　「ｐが８で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2」

　　「ｐが３で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2」

となる自然数ｘ，ｙが存在することを発見した．ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2，・・・などの発見は，類体論の序曲をなすものといえる．

　一般に

　　Ｎ＝ｘ^2±Ｄｙ^2

によって表現される数Ｎの約数ｐは，同一の判別式Ｄをもつ

　　ｐ＝ａｘ^2＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^2　　　（Ｄ＝ｂ^2−ａｃ）

によって表現されることから，ｘ^2±Ｄｙ^2を主形式と呼ぶ．

［補］方程式ｘ^2＋ｙ^2＝ｎの整数解の個数は，ｎの４ν＋１型の約数の個数と４ν＋３型の約数の個数との差の４倍に等しい．方程式ｘ^2＋２ｙ^2＝ｎの整数解の個数は，ｎの８ν＋１型または８ν＋３型の約数の個数と８ν＋５型または８ν＋７型の約数の個数との差の２倍に等しい

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