類数ｈ（ｄ）とは判別式ｄをもつ２次形式の非同値な類の個数にほかならないのであるが，ところで，一意分解性をもつ虚２次体Ｑ（√ｄ）はすべて知られていて

　ｄ＝−１，−２，−３，−７，−１１，−１９，−４３，−６７，−１６３

であることが１９６６年，ベイカーとスタークにより独立に証明された．（両者の方法はまったく異なり，一方は超越数の理論，他方は楕円モデュラー関数の研究に依拠するものである．）

Ｑ（√−５）において

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

Ｑ（√−６）において

　　６＝２・３＝（√−６）（−√−６）

はＱ（√−５）やＱ（√−６）が一意分解性をもたないことを示すものである．

　たとえば，２＝（ａ＋ｂ√−６）（ｃ＋ｄ√−６）とおいて，ノルムをとれば４＝（ａ^2＋６ｂ^2）（ｃ^2＋６ｄ^2）．これより（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＝（±１，０，±２，０），（±２，０，±１，０）．ゆえに２は既約．同様に３，√−６も既約である．

　それに対して，Ｑ（√３）において

　　２２＝２・１１＝（５＋√３）（５−√３）

はＱ（√３）が一意分解性をもつことと矛盾しない．２，１１，５＋√３，５−√３は既約ではないからである．

　　２＝（−１＋√３）（１＋√３）

　　１１＝（−１＋２√３）（１＋２√３）

　　５−√３＝（−１＋√３）（１＋２√３）

　　５＋√３＝（−１＋２√３）（１＋√３）

　一意分解性をもつ実２次体Ｑ（√ｄ）のすべてを見いだす問題は未解決であるが，無限に多く存在するだろうと予想されている（それすら証明されていない）．

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