【２】２元２次形式の簡約理論

　正定値２次形式

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2　　（ｄ＜０，ａ＞０，ｃ＞０）

はａとｃを交換する整数係数ユニモジュラー変換

　　［ｘ］＝［０，　１］［ｘ’］

　　［ｙ］　［−１，０］［ｙ’］

およびｂをｂ±２ａにかえる整数係数ユニモジュラー変換

　　［ｘ］＝［１，±１］［ｘ’］

　　［ｙ］　［０，　１］［ｙ’］

を有限回行うことによって，

　　｜ｂ｜≦ａ≦ｃ

を満たす２次形式に簡約される．

　与えられた判別式ｄをもつ簡約２次形式は有限個しかない．−ｄ＝４ａｃ−ｂ^2≧３ａｃであるから，ａ，ｃ，｜ｂ｜は｜ｄ｜／３を越えることはないからである．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　２変数２次形式

　　［ａ，ｈ］

　　［ｈ，ｂ］

がミンコフスキー簡約であるための条件は

　　｜２ｈ｜≦ａ≦ｂ

　３変数２次形式

　　［ａ，ｈ，ｇ］

　　［ｈ，ｂ，ｆ］

　　［ｇ，ｆ，ｃ］

がミンコフスキー簡約であるための条件は

　　ａ≦ｂ≦ｃ

　　｜２ｈ｜≦ａ，｜２ｇ｜≦ａ，｜２ｇ｜≦ｂ

　　２｜ｈ±ｇ±ｆ｜≦ａ＋ｂ

　次元が高くなるに従って条件不等式は爆発的に増える．その不等式を全部書き下すことができるのはせいぜい７次元くらいまでであるから，正定値２次形式に関する簡約理論がいかに見事かわかるだろう．

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