２元２次形式のディオファントス方程式

　　ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝ｎ　　　（ａ，ｂ，ｃ，ｎは整数）

　　［ｘ，ｙ］［ａ，ｂ／２］［ｘ］＝ｎ

　　　　　　　［ｂ／２，ｃ］［ｙ］

が整数解（ｘ，ｙ）をもつか否かを判定し，それを決定するためのアルゴリズムが存在し，それは判別式をｄ＝ｂ^2−４ａｃとすると

「ｎが判別式ｄのある２元２次形式で表現されるための必要十分条件は

　　ｘ^2＝ｄ　　（ｍｏｄ　４ｎ）

が解をもつことである．」

　また，２元２次形式の同値類を決定する方法も存在します．今回のコラムではこれらについてまとめてみることにします．

　　［参］ベイカー「初等数論講義」サイエンス社

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】同値な２元２次形式

　整数係数の２元２次形式

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2

の判別式はｄ＝ｂ^2−４ａｃで与えられる．与えられた判別式ｄをもつ２次形式では主形式と呼ばれる２次形式が存在する．たとえば，

　　ｂが偶数→ｄ＝０　（ｍｏｄ４）→ｘ^2−ｄ／４ｙ^2

　　ｂが奇数→ｄ＝１　（ｍｏｄ４）→ｘ^2＋ｘｙ＋（１−ｄ）／４ｙ^2

が判別式ｄの主形式である．

　　４ａｆ（ｘ，ｙ）＝（２ａｘ＋ｂｙ）^2−ｄｙ^2

であるから，ｄ＜０ならばｆは同じ符号をとり，正定値または負定値２次形式となる．

　　ｘ＝［ｘ］　　ｈ＝［ａ，ｈ／２］

　　　　［ｙ］　　　　［ｈ／２，ｂ］

とおいて行列・ベクトル表現すると，ｆ＝ｘ’ｈｘとなる．整数係数ユニモジュラー変換とは，ｐｓ−ｑｒ＝１を満たす整数により

　　ｘ＝［ｘ］＝［ｐ，ｑ］［Ｘ］＝ｕＸ

　　　　［ｙ］　［ｒ，ｓ］［Ｙ］

ｆはＸ’ｕ’ｈｕＸ＝Ｘ’ＨＸに変換されるが，その際，ｘ’ｈｘがとる値の集合とＸ’ＨＸがとる値の集合は一致する．

　また，判別式は

　　ｂ’^2−４ａ’ｃ’＝ｄ（ｐｓ−ｑｒ）^2

となり，同値な２次形式は同じ判別式をもつことがわかる．たとえば，ａ＝ａ’，ｂ＝±ｂ’，ｃ＝ｃ’は同値な２次形式となる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝