■ペル方程式とディオファントス近似(その31)
[定理]−1は4n+1型素数の平方剰余であり,4n+3型素数の平方非剰余である.
(−1/p)=+1・・・pが4n+1型素数のとき
=−1・・・pが4n+3型素数のとき
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[第1補充則]
(−1/p)=(−1)^(p-1)/2
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x^2=−1 (modp)
[1]p=5→x=2,3
[2]p=13→x=5,8
[3]p=17→x=4,13
[4]p=29→x=12,17
[5]p=37→x=6,31
[6]p=41→x=9,32
[7]p=53→x=23,30
[8]p=61→x=11,50
[9]p=73→x=27,46
[10]p=89→x=34,55
[11]p=97→x=22,75
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[定理]4n+1型素数はどれも2つの平方数の和として表される.
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5=1^2+2^2
13=2^2+3^2
17=1^2+4^2
29=2^2+5^2
37=1^2+6^2
41=4^2+5^2
53=2^2+7^2
61=5^2+6^2
73=3^2+8^2
89=5^2+8^2
97=4^2+9^2
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