フェルマーはx^2+y^2で表される奇素数は4k+1型をした素数であることを示した。

この形の数の素因数はやはりこの形の数である

ｐが奇数のとき、-1が法ｐで平方数であるのはｐが4ｎ+1型の場合に限る。

さらに、同様の定理

[1]x^2+2y^2で表される奇素数は8k+1型、8k+3型をした素数であること（この形の数の素因数はやはりこの形の数である,ｐが奇数のとき、-2が法ｐで平方数であるのはｐが8ｎ+1、8ｎ+3型の場合に限る）

[2]x^2+3y^2で表される奇素数は3k+1型をした素数であること（この形の数の素因数はやはりこの形の数である,ｐが奇数のとき、-3が法ｐで平方数であるのはｐが3ｎ+1の場合に限る）

を示した。しかし、

[3]x^2+5y^2で表される奇素数はそのような枠組みには寸なる収まらないことに気づいたのであった。

何が異なるのか？　思いがけないことが生じるのである

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（ｘ^2＋Ｎｙ^2）（ｚ^2＋Ｎｔ^2）＝（ｘｚ＋Ｎｙｔ）^2＋Ｎ（ｘｔ−ｙｚ）^2

（ｘ^2＋Ｎｙ^2）（ｚ^2＋Ｎｔ^2）＝（ｘｚ−Ｎｙｔ）^2＋Ｎ（ｘｔ＋ｙｚ）^2

　ブラーマグプタの恒等式はフィボナッチの等式になっているのですが，

［１］ｘ^2＋Ｎｙ^2型整数の積は，再びｘ^2＋Ｎｙ^2型整数として表すことができることを示しています．

（ｘ^2＋5ｙ^2）（ｚ^2＋5ｔ^2）＝（ｘｚ＋5ｙｔ）^2＋5（ｘｔ−ｙｚ）^2

（ｘ^2＋5ｙ^2）（ｚ^2＋5ｔ^2）＝（ｘｚ−5ｙｔ）^2＋5（ｘｔ＋ｙｚ）^2

はx^2+5y^2の形の２数の積がまたこの形になることを示している。

しかし、この形の数の素因数は必ずしもこの形の数ではない

例えば、

21=1^2+5・2^2=3・7

であるが、3も7もこの形の数にはならない。

21=4^2+5・1^2=3・7

161=6^2+5・5^2=7・23も同様

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