立方体[0,1]^3の原点から最も遠い点は(1,1,1)である。

内部空間の直径は√３

表面空間の直径は√５

沿辺空間の直径は3

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

立方体を２つ重ねた直方体(1x1x2)の場合

内部空間の直径は(0,0,0)-(1,1,2)で√６

沿辺空間の直径は４であるが

表面空間の直径は(1,1,2)に対するものではなく（3/4，3/4，2）が最も遠い点であるという。

直観に反するこの結果は、小谷（善行）のアリのパラドックスと呼ばれている

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

クヌースの問題

[Q]直方体の表面上で最も遠い2点はどこか

[A](x,x,0)-(1-x,1-x,2)とすると

(1-2x)^2+3^2=(2-2x)^3+(2+2x)^2=8+8x^2

4x^2-4x+10=8+8x^2

2x^2+2x-1=0,x=(√3-1)/2

(8+8x^2)^1/2=3.0119422

底面の中心(1/2,1/2,0)-上面の中心(1/2,1/2,2)の距離は3であり、3.0119422よりわずかに短い。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

山岸義和先生（龍谷大学)はこの問題の四次元超立方体版を取り上げられた。

3次元立方体の表面から表面への写像

∂I3(a,b)→(1-(-3+3a+2b-2b^2)/(-3+2a),b)=(φb(a),b) (0＜=b＜=a＜=1/2)

が何を指しているのか理解できず、

4次元超立方体の表面から表面への写像

∂I4(a,b,c)→(φc(a),φc(b),c) (0＜=c＜=b＜=a＜=1/2)

がつかめないまま、講演が終わってしまった・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝