【５】二項係数とパスカルの三角形

　７０年代のライフゲームのブームが下火となった８０年代前半に，ウルフラムは，２次元モデルが中心であったセルオートマトンに１次元モデルを導入しました．そして，物理現象を表す偏微分方程式をコンピュータで近似するかわりに，セルオートマトンを用いるスキームを開発したのです．

　まるで科学者に対して挑んでいるかのように思えるこの問題の数学的解答が，拡散方程式であり，その離散化が二項展開あるいは三項展開である．そして，二項展開（二項定理）の係数を三角形状に並べたものがパスカルの三角形である．たとえば，

　　（１＋ｘ）^5＝１＋５ｘ＋１０ｘ^2＋１０ｘ^3＋５ｘ^4＋ｘ^5

で，先頭と最後が常に１となり，その間の数値は前の行の連続した数値を加えていくことに得られる．係数が奇数である場合にそのセルを黒くするとセルオートマトンの規則９０

　　Ｃi(t+1)＝Ｃi-1(t)＋Ｃi+1(t)　　（ｍｏｄ２）

で与えられるようなネスト型の三角形パターンを生成する．

　規則１５０

　　Ｃi(t+1)＝Ｃi-1(t)＋Ｃi(t)＋Ｃi+1(t)　　（ｍｏｄ２）

は三項展開の係数と関連している．たとえば，

　　（１＋ｘ＋ｘ^2）^8＝１＋８ｘ＋３６ｘ^2＋１１２ｘ^3＋２６６ｘ^4＋５０４ｘ^5＋７８４ｘ^6＋１０１６ｘ^7＋１１０７ｘ^8＋１０１６ｘ^9＋７８４ｘ^10＋５０４ｘ^11＋２６６ｘ^12＋１１２ｘ^13＋３６ｘ^14＋８ｘ^15＋ｘ^16で，最初と最後の係数のみが奇数である．

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　１次元セルオートマトン法では，セルの並びを横一列だけとします．そして初期配置と状態変化の規則を設定し，その時間ステップごとの変化を縦に並べると，２次元にある模様が現れます．ウルフラムはこうして得られた１次元セルオートマトンモデルが作り出すパターンを系統的に研究することによって，クラス１（均一），クラス２（周期的），クラス３（カオス的），クラス４（複雑）の４つのクラスに分類し，さらにセルオートマトンと微分方程式系との対応を初めて明らかにしました．セルオートマトンによって偏微分方程式の近似解が与えられ，自然界の様々なモデル化が可能であることを指摘したのです．

　これが１９８４年に発表された有名な論文の要旨ですが，ウルフラムは微分方程式よりも彼のスキームのほうがデジタル・コンピュータに適していると主張します．その後，２００２年，ウルフラムは「A New Kind of Science」（ＮＫＳ）というタイトルの1200ページにもおよぶ書籍を出版，セルオートマトンに世界中の注目を集めた記念碑となりました．このことによってセルオートマトン法は再び注目を浴び，様々な分野に適用されています．

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