研究会での発表の中から、浜田忠久先生（筑波大学）を取り上げたい

　ｘの小数部分ｘ−［ｘ］を｛ｘ｝と書くことにすると，０≦｛ｘ｝＜１である．ここで無理数α=(0,1)をとり、

｛iα｝＝{０}，｛α｝，｛２α｝，・・・，｛ｎα｝

を考える。このとき、区間［０，１］はｎ+１個の区間に分割されるが、1950年代にスタインハウスは区間幅は多くても３つに限られると予想した。

このうちの一つは他の２区間の和となっている。

浜田先生が発表されたのは、スタインハウスの問題に対する視覚的証明である。

A concise geometric proof of the three distance theorem

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　ｎ位のファレイ数列とは分子と分母がｎを超えない既約な正の有理数全体を大きさの順に並べたものであるが，まず［０／１，１／１］からはじめ，（０＋１）／（１＋１）＝１／２をはじめの２つの分数の間に挿入する．→［０／１，１／１］

漸次，隣接する２項ｐ／ｑとｒ／ｓの間に中間分数

　　（ｐ＋ｒ）／（ｑ＋ｓ）

を挿入する操作を可能な限り続けることによって得られる．「ただし，第ｎ列の分母はすべてｎを超えないものとする．」

［０／１，１／１］

→［０／１，１／２，１／１］（２位のファレイ数列）

→［０／１，１／３，１／２，２／３，１／１］（３位のファレイ数列）

→［０／１，１／４，１／３，１／２，２／３，３／４，１／１］（４位のファレイ数列）

→［０／１，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，１／１］（５位のファレイ数列）

→［０／１，１／６，１／５，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，４／５，５／６，１／１］（６位のファレイ数列）

→［・・・，０／１，１／７，１／６，１／５，１／４，２／７，１／３，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，２／３，５／７，３／４，４／５，５／６，６／７，１／１，・・・］（７位のファレイ数列）

→［０／１，１／５，１／４，２／７，１／３，３／８，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，５／８，２／３，５／７，３／４，４／５，１／１］（８位のファレイ数列）

が得られる．

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［０／１，１／１］に対して、傾き1の直線で(0,0)-(1,1)を結ぶ

［０／１，１／２，１／１］に対して、傾き2の直線で(0,0)-(1/2,1),(1/2,0)-(1,1)を結ぶ

［０／１，１／３，１／２，２／３，１／１］に対して、傾き2の直線で(0,0)-(1/3,1),(1/3,0)-(2/3,1),(2/3,0)-(1,1)を結ぶ

・・・

横軸にα、縦軸に{iα}]をとる。

このとき、αが有理数であれば区間幅は１種類（同じ長さ）に限られることがわかる。

αが無理数でa/b＜α＜c/dであれば、２個の三角形と1個の台形より

区間幅bα-aがn+1-b個

区間幅c-dαがn+1-d個

区間幅(b-d)α+(c-a)がb+d-(n+1)個　(b+d＞(n+1))

生じるので、区間幅は多くても３つに限られる

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