ｎ個の元からなる集合から、以下の条件を満たすｐ個の組をいくつ作れるか？

どのｑ個の組もそれらのｐ個の組に1回しか現れない。

もし、配列は常に可能とは限らないが、可能ならば、答えはC(n,q)/C(p,q)である。

ｐ＝3，ｑ＝2の特別な場合は

ｎ個の元からなる集合から、以下の条件を満たす３つ組をいくつ作れるか？

どのペアもそれらのｐ個の組に1回しか現れない。

この場合、ｎ＝６ｋ+１，またはｎ＝６ｋ+３の形で表されなければならない。

ｎ＝7のとき、C(7，2)/C(3，2)＝7　(本質的にひとつ)

ｎ＝9のとき、C(9，2)/C(3，2)＝12　(本質的にひとつ)

ｎ＝13のとき、C(13，2)/C(3，2)　(本質的にふたつ)

ｎ＝15のとき、C(15，2)/C(3，2)　(本質的に80)

ｎ＝19，21，25，27，・・・のとき、C(n，2)/C(3，2)　(本質的に何百万)

ｎが3で割れるとき、すなわち、ｎ＝６ｋ+３のとき、分解可能である

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パラメータ(n,p,q)のスタイナー・システムを考える。

パラメータ(n,3,2)のスタイナー・システムはスタイナー・トリプルと呼ばれる。

スタイナー・トリプルが存在するのは６を法としてｎが１または３に合同であるときに限られる。

カークマンは存在性に関するこの必要条件が十分条件でもあることを示した。

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