【３】有限射影平面（パップスの配置とファノの配置）

　パップスの配置には９個の点と各々３つの点をもつ９本の直線が含まれています．それに対して，ファノの配置は７つの点，各々３つの点をもつ７本の「射影直線」よりなり，このことが射影平面の双対性と結びついてきます．さらに，一般に有限射影平面についてち述べておきましょう．

　１本の直線上にｎ個の点があるアフィン平面をｎ次のアフィン平面と呼びます．有限アフィン平面Ｆq×Ｆqは

　　｛（ｘ，ｙ）｜ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，ａ，ｂ，ｃ，ｘ，ｙはＦqに属する｝

で定義されるものです．ｎ次のアフィン平面では１点を通る直線はｎ＋１本で，ｎ^2個の点がありますから，全部で

　　ｎ^2（ｎ＋１）／ｎ＝ｎ（ｎ＋１）

本の直線があります．

　最も簡単な有限アフィン平面はＺ2×Ｚ2で，４個の点を四面体状に結んだものです．また，ｎ次のアフィン平面上では平行な直線はｎ本あり，平行な直線同士を集めた組がｎ＋１組あります．

　アフィン平面では平行な直線が存在しましたが，しかし，すべての直線が交点をもつとしても矛盾を生じない幾何学の体系を考えることができます．アフィン平面に無限遠点，無限遠直線を加えて完備化すると射影平面が得られますが，完備化により点の数がｎ＋１個，直線が１本増えます．したがって，ｎ次射影平面における点の数はｎ^2＋ｎ＋１，直線の数もｎ（ｎ＋１）＋１＝ｎ^2＋ｎ＋１で等しくなります．いいかえれば有限射影平面では各直線にｎ＋１個の点を含み，各点を通ってｎ＋１本の直線が引けることとなります．

　これを

　　ｑ＝ｎ^2＋ｎ＋１

とおきますが，たとえば，２次の射影平面は７つの点，７本の直線よりなり，このことが射影平面の双対性と結びついてきます．

　最も簡単な射影平面は，有限体Ｚ2上の２次元射影幾何であって，ファノ平面と呼ばれています．そして，７個の点ｐ1〜ｐ7を（１〜７）と略記することにして，例えば，７本の直線上の３点の組を（１，２，３），（１，４，５），（１，６，７），（２，４，６），（２，５，７），（３，４，７），（３，５，６）の７組の体系は射影幾何の公理系を満たすことになります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝