【１】２次曲面上の直線

　２次曲面ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０は楕円面，一葉双曲面，二葉双曲面，楕円放物面，双曲放物面のどれかに分類される．たとえば，

　　一葉双曲面：ｘ^2＋ｙ^2−ｚ^2＝１

　　双曲放物面：ｚ＝ｘｙ

には，無数に多くの直線がのっている．その場合には線織面と呼ばれる．

　一葉双曲面と双曲放物面は２重に線織されているが，これら以外に２重線織面はない．また，平面以外の３重線織面は存在しない．

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【２】３次曲面上の直線

　３次曲面の２重接線はその曲線に含まれる．４次曲面は２８本の２重接線をもつ．このことから，１８４９年，ケーリーは滑らかな３次曲面はすべてある一定数の直線を含むこと，サーモンはその数は２７であることを証明した．（１本は蜃気楼）．

　すなわち，３次曲面ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０には無数に多くの直線がのっているか（その場合には線織面と呼ばれる），そうでなければ，高々２７本の直線しか含まないことが証明されている（サーモン，１８８４年）．

　たとえば，３次曲面

　　４（ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3）＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）^3＋３（ｘ＋ｙ＋ｚ）

は２７本の実直線を含んでいる．また，曲面族

　　（ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3）−１＝α（ｘ＋ｙ＋ｚ−１）^3

は，α＞１／４でα≠１のとき，２７本の実直線を含む．

　１次曲面（平面）は∞^2個，２次曲面は∞^1個の直線を含み，一般の３次曲面では（少なくとも１本の直線を含むが）その数は高々有限個（２７本）である．それに対して，一般のｎ次曲面（ｎ＞３）は直線を全然含んでいないというわけである．

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　また，２７本の直線の間に多くの交差がある．２７本の直線の配置はある厳密な規則に従っている．シュレーフリは３次曲面上の２７本の直線の組に従って，滑らかな実３次曲面を５組に分類した．この５組にはそれぞれ２７，１５，７，３，３本の実直線，そして３直線を含む実平面が４５，１５，５，７，１３入っている．

　アルキメデスの墓石に円柱・円錐・球，ガウスの墓石に正１７角形が彫られた如く，ケーリーとサーモンの墓石には２７本の直線を彫るべきだとシルベスターがいったことは１９世紀にこれらの３次曲面がいかに重要視されたかを物語るものだろう．

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