【１】ｎと２ｎの間に素数がある

　１８４５年にフランスの数学者ベルトランは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），同じことですが素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という予想を立てました．

π(10)=4

π(100)=25

π(10^3)=168,π(10^4)=1229,π(10^5)=9592,π(10^6)=78498

π(ｘ)〜ｘ/logx

π(2ｘ)-π(ｘ)〜2ｘ/（logx+log2)-x/logx〜ｘ/logx-2ｘlog2/(logx)^2

　ロシアの数学者チェビシェフがベルトランの仮説を証明しました．この証明は彼が実に１８才のときだったそうですから，「栴檀は双葉よりの芳し」の諺のごとくです．チェビシェフの定理によって，素数の分布には何らかの秩序が存在していることになります．

　さらに，チェビシェフは１８５２年に，十分大きなｘについてπ（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）がｃ1＝０．９２１２９とｃ2＝１．１０５５５の間にあるという結果を得ています．

　　ｃ1ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜ｃ2ｘ／ｌｏｇｘ

　実はチェビシェフはもっと狭い範囲の中にも必ず素数が存在することを証明したのですが，１９１１年，イタリアの数学者ボノリスがｎと３ｎ／２の間にある素数の個数の近似式を導きました．

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チェビシェフによる証明は非常に込み入ったものでしたが、エルデシュによって初等的な証明が発見されました。

それは2nC2を巧みに利用するものです。

一方、ラマヌジャンはチェビシェフ関数を駆使して、ベルトラン予想を解決したというわけです。

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