■ポール・エルデス・離散数学の魅力(その10)

 (その9)において,素数定理

  π(x)~x/logx

を使うと,大きなnに対して

  π(2n)-π(n)~2n/log2n-n/logn~n/logn

が成り立つ.

  π((n+1)^2)-π(n^2)~(n+1)^2/2log(n+1)-n^2/2logn~n/logn

  π((n+1)^3)-π(n^3)~(n+1)^3/3log(n+1)-n^3/3logn~n^2/logn

としたが,再考してみたい.

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 xを非常にに大きい数とする.xとx+εの間の素数の個数は

  π(x+ε)-π(x)

で与えられるが,その近似値が欲しい.

π(x+ε)~(x+ε)/log(x+ε)

(x+ε)=x(1+ε/x)より,

π(x+ε)~(x+ε)/{logx+log(1+ε/x)}

 ε/xは非常に小さいと仮定できるので

π(x+ε)~(x+ε)/logx

したがって,

  π(x+ε)-π(x)=ε/logx

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  π(2x)-π(x)=π(x+x)-π(x)~x/logx

  π((x+1)^2)-π(x^2)

=π(x^2+2x+1)-π(x)

~2x/logx^2~x/logx

  π((x+1)^3)-π(x^3)

=π(x^3+3x^2+3x+1)-π(x)

~3x^2/logx^3~x^2/logx

 いずれも妥当な評価であることが確かめられたことになる.

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