(その9)において,素数定理
π(x)~x/logx
を使うと,大きなnに対して
π(2n)-π(n)~2n/log2n-n/logn~n/logn
が成り立つ.
π((n+1)^2)-π(n^2)~(n+1)^2/2log(n+1)-n^2/2logn~n/logn
π((n+1)^3)-π(n^3)~(n+1)^3/3log(n+1)-n^3/3logn~n^2/logn
としたが,再考してみたい.
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xを非常にに大きい数とする.xとx+εの間の素数の個数は
π(x+ε)-π(x)
で与えられるが,その近似値が欲しい.
π(x+ε)~(x+ε)/log(x+ε)
(x+ε)=x(1+ε/x)より,
π(x+ε)~(x+ε)/{logx+log(1+ε/x)}
ε/xは非常に小さいと仮定できるので
π(x+ε)~(x+ε)/logx
したがって,
π(x+ε)-π(x)=ε/logx
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π(2x)-π(x)=π(x+x)-π(x)~x/logx
π((x+1)^2)-π(x^2)
=π(x^2+2x+1)-π(x)
~2x/logx^2~x/logx
π((x+1)^3)-π(x^3)
=π(x^3+3x^2+3x+1)-π(x)
~3x^2/logx^3~x^2/logx
いずれも妥当な評価であることが確かめられたことになる.
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