（その９）において，素数定理

　　π（ｘ）～ｘ／ｌｏｇｘ

を使うと，大きなｎに対して

　　π（２ｎ）－π（ｎ）～２ｎ／ｌｏｇ２ｎ－ｎ／ｌｏｇｎ～ｎ／ｌｏｇｎ

が成り立つ．

　　π（（ｎ＋１）^2）－π（ｎ^2）～（ｎ＋１）^2／２ｌｏｇ（ｎ＋１）－ｎ^2／２ｌｏｇｎ～ｎ／ｌｏｇｎ

　　π（（ｎ＋１）^3）－π（ｎ^3）～（ｎ＋１）^3／３ｌｏｇ（ｎ＋１）－ｎ^3／３ｌｏｇｎ～ｎ^2／ｌｏｇｎ

としたが，再考してみたい．

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　ｘを非常にに大きい数とする．ｘとｘ＋εの間の素数の個数は

　　π（ｘ＋ε）－π（ｘ）

で与えられるが，その近似値が欲しい．

π（ｘ＋ε）～（ｘ＋ε）／ｌｏｇ（ｘ＋ε）

（ｘ＋ε）＝ｘ（１＋ε／ｘ）より，

π（ｘ＋ε）～（ｘ＋ε）／｛ｌｏｇｘ＋ｌｏｇ（１＋ε／ｘ）｝

　ε／ｘは非常に小さいと仮定できるので

π（ｘ＋ε）～（ｘ＋ε）／ｌｏｇｘ

したがって，

　　π（ｘ＋ε）－π（ｘ）＝ε／ｌｏｇｘ

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　　π（２ｘ）－π（ｘ）＝π（ｘ＋ｘ）－π（ｘ）～ｘ／ｌｏｇｘ

　　π（（ｘ＋１）^2）－π（ｘ^2）

＝π（ｘ^2＋２ｘ＋１）－π（ｘ）

～２ｘ／ｌｏｇｘ^2～ｘ／ｌｏｇｘ

　　π（（ｘ＋１）^3）－π（ｘ^3）

＝π（ｘ^3＋３ｘ^2＋３ｘ＋１）－π（ｘ）

～３ｘ^2／ｌｏｇｘ^3～ｘ^2／ｌｏｇｘ

　いずれも妥当な評価であることが確かめられたことになる．

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