正の実数ａ，ｂ，ｃに対して，

　　ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝（ａ−ｂ）^2

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２

　　（ａ＋ｂ＋ｃ）^2−３（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）＝−｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝≦０

より，

　　（ａ＋ｂ＋ｃ）^2≦３（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）

（等号はａ＝ｂ＝ｃのとき）などは，受験参考書に必ず書いてある．

　　ａ^k（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）＋ｂ^k（ｂ−ａ）（ｂ−ｃ）＋ｃ^k（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）≧０　　　（シューアの不等式）

も，このコラムの読者であれば簡単に証明できるであろう．それでは，・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】レムスの不等式（１８２０年）

　三角形の３辺の長さを（ａ，ｂ，ｃ）とするとき，

　　ａｂｃ≧（ａ＋ｂ−ｃ）（ｂ＋ｃ−ａ）（ｃ＋ａ−ｂ）

が成り立つ．等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限る．

（証）ａ＋ｂ−ｃ＝２ｘ，ｂ＋ｃ−ａ＝２ｙ，ｃ＋ａ−ｂ＝２ｚとおくと，

　　ａ＝ｚ＋ｘ，ｂ＝ｘ＋ｙ，ｃ＝ｙ＋ｚ

　　ａｂｃ≧（ａ＋ｂ−ｃ）（ｂ＋ｃ−ａ）（ｃ＋ａ−ｂ）

は算術・幾何平均の不等式

　　（ｘ＋ｙ）／２・（ｙ＋ｚ）／２・（ｚ＋ｘ）／２≧√ｘｙ√ｙｚ√ｚｘ＝ｘｙｚ

そのものに帰着される．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】対称式の問題

　ここで，ａ，ｂ，ｃ，・・・はすべて正であると仮定したが，算術平均と幾何平均の大小関係については有名な不等式

　　Ａ（ａ^n）≧Ｇ（ａ^n）

が成り立つので，ｎ変数のｎ次正定値形式に関する問題であるし，また，基本対称式に関係した問題ということにもなろう．

　レムスの不等式も，３次対称式

　　ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2＋ｃ^2ａ＋ｃａ^2−６ａｂｃ≧０

である．対称式を

　　Σｘ，Σｘ^2，Σｘ^3，Σｘｙ，Σｘ^2ｙ，・・・

などで表すことにすると，レムスの不等式は

　　（Σｘ）（Σｘｙ）−９ｘｙｚ≧０

となる．

　ここでは，ｎ変数で３次以下の対称多項式Ｐn（ｘ，ｙ，ｚ）が非負となるための条件を考えてみる．

［１］Ｐ1（ｘ，ｙ，ｚ）＝λΣｘ　→　λ≧０

［２］Ｐ2（ｘ，ｙ，ｚ）＝λΣｘ^2＋μΣｘｙ　→　λ≧０，λ＋μ≧０

［３］Ｐ3（ｘ，ｙ，ｚ）＝λΣｘ^2＋μΣｘｙ＋３νｘｙｚ　→　λ≧０，λ＋μ≧０，λ＋２μ＋ν≧０

［４］ｎ≧４となると必要十分条件は複雑になることは冒頭で述べたとおりである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】三角形に関する不等式（続き）

　三角形の３辺の長さを（ａ，ｂ，ｃ）とするとき，

　　３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≦（ａ＋ｂ＋ｃ）^2＜４（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）

が成り立つ．等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限る．

（証）ａ^2＋ｂ^2≧２ａｂ，ｂ^2＋ｃ^2≧２ｂｃ，ｃ^2＋ａ^2≧２ｃａを加えると

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2≧ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ

両辺に２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）を加えると

　　３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≦（ａ＋ｂ＋ｃ）^2

　また，（ａ，ｂ，ｃ）は三角形の３辺の長さなので，

　　（ａ−ｂ）^2＜ｃ^2，（ｂ−ｃ）^2＜ａ^2，（ｃ−ａ）^2＜ｂ^2

を加えると

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＜２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）

両辺に２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）を加えると

　　（ａ＋ｂ＋ｃ）^2＜４（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）

［参］大関清太「不等式」共立出版

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝