【６】マクドナルド対称多項式

　ジャック多項式のｑアナログを考えると

　　Δ（ｘ，β）＝Π（１−ｘi／ｘj）^β

がヒントになって

　　Δ（ｘ，ｑ，ｔ）＝Π(xi/xj;q)∞(xj/xi;q)∞/(txi/xj;q)∞(txj/xi;q)∞

が得られる．

　ｑ＝ｔとするとシューア多項式，ｔ＝ｑ^βとしてｑ→１とするとジャック多項式となる．マクドナルド多項式はジャック多項式の兄貴分であって，ジャック多項式にパラメータを加えて拡張し，固有値が縮退しないような状況を実現しているのである．

　シューア，ジャック多項式での理論の多くは，マクドナルド多項式に対しても成り立つ．すなわち，直交多項式

　　〈Ｐλ，Ｐμ〉＝δ

であり，また，

　　Ｐλ（ｘ）＝ｍλ（ｘ）＋ΣＫｍμ（ｘ）　　　μ＜λ

である．

　３次までの例を計算すると

　　Ｐ(1)＝ｐ1

　　Ｐ(2)＝（１−ｑ）（１＋ｔ）／２（１−ｑｔ）ｐ2＋（１＋ｑ）（１−ｔ）／２（１−ｑｔ）ｐ1^2

　　Ｐ(1^2)＝−１／２ｐ2＋１／２ｐ1^2

　　Ｐ(3)＝−１／３・（１−ｔ^3）／（１−ｔ）・（１−ｑ）（１−ｑ^2）／２（１−ｑｔ）（１−ｑ^2ｔ）ｐ3＋１／２・（１−ｑ^3）（１−ｔ^2）／（１−ｑｔ）（１−ｑ^2ｔ）ｐ2ｐ1＋１／６・（１−ｑ^2）／（１−ｑ）・（１−ｑ^3）／（１−ｑ）・（１−ｔ）^2／（１−ｑｔ）（１−ｑ^2ｔ）ｐ1^3

　　Ｐ(21)＝−１／３・（１−ｔ^3）／（１−ｔ）・（１−ｑ）／（１−ｑｔ^2）ｐ3−１／２・（１−ｔ^2）／（１−ｔ）・（ｑ−ｔ）／（１−ｑｔ^2）ｐ2ｐ1＋（２＋ｑ＋ｔ＋２ｑｔ）／６・（１−ｔ）／（１−ｑｔ^2）ｐ1^3

　　Ｐ(1^3)＝１／３ｐ3−１／２ｐ2ｐ1＋１／６ｐ1^3

　実はこれはＡn-1型離散系という特定のルート系に対応するマクドナルド多項式であって，それ以外のルート系に付随したマクドナルド多項式も考えることができる．そしてそれらを統一的に扱う枠組みとして提唱されたのが，アフィン・ヘッケ代数である．多変数の直交多項式に対しては，アフィン・ヘッケ代数という代数構造が重要な役割を果たすのである．

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