【４】シューア対称多項式

　いくつかの対称関数を定義したが，ここでは最も重要な対称多項式であるシューア対称多項式を導入する．

　シューア対称多項式ｓλ（ｘ）は，ｎ個の変数ｘ＝（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn）が与えられたとき，ｌ（λ）≦ｎなる分割に対して定義されるｎ変数対称多項式で，次のような行列式の比として定義される．

　　ｓλ（ｘ）＝ｄｅｔ（ｘi^(λj+n-j)）／ｄｅｔ（ｘi^(n-j)）

ｄｅｔ（ｘi^(n-j)）＝ ｜ｘ1^(n-1) ｘ1^(n-2)・・・ｘ1^0｜

　　　　　　　　　　　｜ｘ2^(n-1) ｘ2^(n-2)・・・ｘ2^0｜

　　　　　　　　　　　｜・・・・・・・・・・・・・・・｜

　　　　　　　　　　　｜ｘn^(n-1) ｘn^(n-2)・・・ｘn^0｜

ｄｅｔ（ｘi^(λj+n-j)）＝ ｜ｘ1^(λ1+n-1) ｘ1^(λ2+n-2)・・・ｘ1^λn｜

　　　　　　　　　　　　　｜ｘ2^(λ1+n-1) ｘ2^(λ2+n-2)・・・ｘ2^λn｜

　　　　　　　　　　　　　｜・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・｜

　　　　　　　　　　　　　｜ｘn^(λ1+n-1) ｘn^(λ2+n-2)・・・ｘn^λn｜

　分母はファンデルモンド行列式だから，差積Π（ｘi−ｘj）に等しい．

　　ｄｅｔ（ｘi^(n-j)）＝Π（ｘi−ｘj）

また，分子はｘの交代式なので，差積で割り切れて全体として対称多項式になる．したがって，ｓλ（ｘ）は｜λ｜＝Σλi次の斉次対称式となる．ｌ（λ）＞ｎに対してはｓλ＝０と約束する．

　ｎ＝３の場合，定義にしたがって計算すれば

　　ｓ(1)（ｘ）＝ｘ1＋ｘ2＋ｘ3

　　ｓ(1^2)（ｘ）＝ｘ1ｘ2＋ｘ1ｘ3＋ｘ2ｘ3

　　ｓ(21)（ｘ）＝（ｘ1＋ｘ2）（ｘ1＋ｘ3）（ｘ2＋ｘ3）

などが得られる．

　また，シューア対称多項式の内積の直交性

　　〈ｓλ，ｓμ〉＝δ　　　（クロネッカーのδ）

は，シューア対称多項式が直交多項式の理論の枠内で捉えることができることを示している．

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　ｓλ（ｘ）はヤング図形に対応する母関数であって，単項式の非負整数係数の１次結合として表せることが知られている．ｎ≧３とすれば

　　ｓ(3)（ｘ）＝ｍ(3)（ｘ）＋ｍ(21)（ｘ）＋ｍ(1^3)（ｘ）

　　ｓ(21)（ｘ）＝ｍ(21)（ｘ）＋２ｍ(1^3)（ｘ）

　　ｓ(1^3)（ｘ）＝ｍ(1^3)（ｘ）

　一般に，

　　ｓλ（ｘ）＝ｍλ（ｘ）＋ΣＫｍμ（ｘ）　　　（μ＜λ）

　　ｓλ（ｘ）＝ｍλ（ｘ）＋（それより低い順序のモノミアル）

において，Ｋは非負整数という形になっている．このことから一般のｓλ（ｘ）がｎ変数対称多項式のなす空間の基底であり，任意の対称多項式がこれらの１次結合で一意に表されることがいえるのである．

　次に，ｎ変数のシューア多項式ｓλをベキ和多項式ｐrで表してみよう．すると

　　ｓ(1)＝ｐ1

　　ｓ(2)＝１／２ｐ2＋１／２ｐ1^2

　　ｓ(1^2)＝−１／２ｐ2＋１／２ｐ1^2

　　ｓ(3)＝１／３ｐ3＋１／２ｐ2ｐ1＋１／６ｐ1^3

　　ｓ(21)＝−１／３ｐ3＋１／３ｐ1^3

　　ｓ(1^3)＝１／３ｐ3−１／２ｐ2ｐ1＋１／６ｐ1^3

などとなる．これらの公式はシューア多項式を「変数の数ｎに依存しない形に表現できる」とても便利なものになっていて，ｎ→∞のときの無限個の変数の極限を考えたシューア多項式すなわちシューア関数の定義に用いることができる．

　同様に，モノミアル対称多項式ｍλをベキ和多項式ｐrで表せば（とりあえず３次まで），

　　ｍ(1)＝ｐ1

　　ｍ(2)＝ｐ2

　　ｍ(1^2)＝−１／２ｐ2＋１／２ｐ1^2

　　ｍ(3)＝ｐ3

　　ｍ(21)＝−ｐ3＋ｐ2ｐ1

　　ｍ(1^3)＝１／３ｐ3−１／２ｐ2ｐ1＋１／６ｐ1^3

この両辺は無限変数の多項式でも成り立つことに注意されたい．対称多項式の無限変数版は対称関数と呼ばれ，変数の数ｎに依存しない形が望まれるのである．

　シューア関数は組合せ論と表現論の関わりにおいて別格の扱いを受けているばかりではなく，数理物理の諸問題などに頻繁に現れる．たとえば，自由電子系に対する任意の励起状態はシューア対称多項式によって記述可能である．

　以下に述べるジャック多項式，マクドナルド多項式はシューア関数の変形であり，内積のβ変形がジャック多項式，（ｑ，ｔ）変形がマクドナルド多項式となる．

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