【３】分割と基本的な対称多項式

　非負整数の非増加列，すなわち，

　　λ＝（λ1，λ2，・・・，λn）

　　λ1≧λ2≧・・・≧λn＞０

なる整数列を分割（partition）という．分割はλ＝（λ1，λ2，・・・，λn）でパラメトライズされるわけであるが，分割λに対して

　　｜λ｜＝Σλi

を分割λのサイズ，λiが零でないｉの総数をｌ（λ）と書いて分割λの長さという．

　次に，分割の集合に自然な順序を定義したい．λ≧μとは

　　｜λ｜＝｜μ｜

かつすべてのｉに対して

　　λ1＋・・・＋λi≧μ1＋・・・＋μn

が成り立つこととする．

　すると

　　(2)>(1^2)

　　(3)>(21)>(1^3)

　　(4)>(31)>(2^2)>(21^2)>(1^4)

　　(5)>(41)>(32)>(31^2)>(2^21)>(21^3)>(1^5)

　　(6)>(51)>(42)>(41^2)>(321)>(31^3)>(2^21^2)>(21^4)>(1^6)

　　　　　　　　 >(3^2)>　　　>(2^3)>

となって｜λ｜≦５の場合には全順序（辞書式順序）であるが，｜λ｜≧６の場合は半順序となることが理解される．

　分割λに対応する単項対称多項式（モノミアル対称多項式）を

　　ｍλ（ｘ）＝Σｘ1^α1・・・ｘn^αn

により定義する．ただし，この和はλ＝（λ1，λ2，・・・，λn）の入れ替えで生じる単項式すべてを動くものとする．すなわち，単項対称多項式は単項式ｘ1^α1・・・ｘn^αnの線形結合をとって得られる対称化多項式である．

　｜λ｜＝３，ｎ＝３とすれば

　　ｍ(3)（ｘ）＝ｘ1^3＋ｘ2^3＋ｘ3^3

　　ｍ(21)（ｘ）＝ｘ1^2ｘ2＋ｘ1^2ｘ3＋ｘ2^2ｘ1＋ｘ2^2ｘ3＋ｘ3^2ｘ1＋ｘ3^2ｘ2

　　ｍ(1^3)（ｘ）＝ｘ1ｘ2ｘ3

　また，ベキ和対称関数をｒ次のベキ和

　　ｐr＝Σｘ^r＝ｍ(r)（ｘ）

と分割λ＝（λ1，λ2，・・・）に対して

　　ｐλ＝ｐλ1ｐλ2・・・＝Πｐλi

と定義すると，ｎ＝３の場合，

　　ｐ(3)（ｘ）＝ｘ1^3＋ｘ2^3＋ｘ3^3

　　ｐ(21)（ｘ）＝（ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2）（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3）

　　ｐ(1^3)（ｘ）＝（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3）^3

のようになる．

　さらに，ヤング図形の縦１列に対応する場合がｒ次の基本対称式

　　ｅr（ｘ）＝σr＝ｍ(1^r)

ヤング図形の横１列に対応する場合がｒ次の完全（同次）対称多項式

　　ｈr（ｘ）＝Σｍλ（ｘ）　　　｜λ｜＝ｒ

であるが，ｅλ（ｘ），ｈλ（ｘ）についてもベキ和対称多項式の場合と同様に定義する．

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