今回コラムでは，オイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

を取り上げる．たとえば，正八面体ではｆ＝８，ｖ＝６，ｅ＝１２．切頂２０面体ではｆ＝３２（正五角形１２枚，正六角形２０枚），ｖ＝６０，ｅ＝９０でオイラーの公式が成り立っているが，任意の凸多面体について成立する公式である．

　これが実に役立つ公式で，たとえば，正多面体は５種類しかないとか，すべての面が六角形であるような多面体は存在しないという結論を導いたりすることができるのである．

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【１】オイラーの多面体定理の応用

　凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　　（オイラーの多面体定理）

が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈されます．

　量（ｖ−ｅ＋ｆ）は幾何学で最も基本的な位相不変量の１つで，オイラー標数と呼ばれます．一般に，図形がいくつかの３角形によって分割されているとき，

　　頂点の数−辺の数＋３角形の数

は分割の仕方によらず定まり，図形に固有な量になるというものです．その際，偶数次元は＋，奇数次元は−に勘定して交代和をとっています．元の立体の頂点の数ｖと面の数ｆを互いに入れ替えた立体を双対多面体といいますが，この式は頂点と面に関しての双対性も表現しているのです．

　また，種数（穴の数）ｇの向き付け可能な閉曲面の場合は

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２−２ｇ

となることはよく知られています．逆にいうと，多面体の種数ｇは，ｇ＝１−（ｆ−ｅ＋ｖ）／２で定義される量です．

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［Ｑ］すべての面が六角形であるような多面体は存在しない．

　各々の面の辺数を

　　ｐ1，・・・，ｐf（≧３）

頂点に結合する辺数を

　　ｑ1，・・・，ｑv（≧３）

で表すと，明らかに

　　３ｆ≦ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ

　　３ｖ≦ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ

ここで，オイラーの多面体定理より，３ｆ＋３ｖ＝３ｅ＋６ですから，

　　ｅ＋６≦３ｆ≦２ｅ

　　ｅ＋６≦３ｖ≦２ｅ

　したがって，面が何角形になるかを求めてみると，これはもちろん１通りではありませんが，１本の辺は２個の面によって共有されることを考慮し，各頂点に平均してｐ~角形がｑ~面会するとすると，

　　ｐ~ｆ＝２ｅ，ｑ~ｖ＝２ｅ　　　（握手定理）

より，その平均辺数ｐ~と平均会合面数ｑ~については

　　ｐ~＝２ｅ／ｆ≦６−１２／ｆ＜６

　　ｑ~＝２ｅ／ｖ≦６−１２／ｖ＜６

という不等式が導かれます．

　各面の辺数の平均は＜６なのですが，すべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつことが導き出されます．

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［Ｑ］多面体は７本の辺をもつこと（ｅ＝７）は不可能である．

　　２ｅ≧３ｆ，２ｅ≧３ｖ

から，ｅ＝７なる多面体が存在したと仮定すると，３ｆ≦１４，３ｖ≦１４．ｆ，ｖは面，頂点の個数なので，３より大きな整数でなければならない．したがって，ｆ＝４，ｖ＝４，ｅ＝７となるが，これはオイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

を満たさないので矛盾が生じる．

　このことから

　　ｆ≧４，ｖ≧４，ｅ≧６（ｅ≠７）

であることがわかりましたが，他にオイラーの多面体定理で示される制限はないのでしょうか？

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２，２ｅ≧３ｆ，２ｅ≧３ｖ

を組み合わせると，

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｆ＋４　→　ｆ≦２ｖ−４

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｖ＋４　→　ｖ≦２ｆ−４

　また，別の組合せ方をすると，

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≦２ｅ＋３ｆ　→　３ｆ−ｅ≧６

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≧２ｅ＋３ｖ　→　３ｖ−ｅ≧６

も得られます．

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［Ｑ］３次元立体では必ず頂点に結合する辺の個数が３の頂点か３角形の面をもつ．

　ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　i)Σｎｆn＝Σｎｖn

　ii)Σｆ2n+1は偶数

　iii)ｖ3＋ｆ3＞０

を順に示していきます．

　（答）各辺は２個の頂点をもつから，Σｎｖn＝２Ｅ

　　　　また，各辺では２枚の面が交わるからΣｎｆn＝２Ｅ

　（答）ｉ）より，Σ（２ｎ＋１）ｆ2n+1＝（偶数）

　　　　したがって，Σｆ2n+1も偶数

　（答）Ｅ＝Σｅn，Ｖ＝Σｖn，Ｆ＝Σｆn，Σｎｆn＝Σｎｖn＝２Ｅ

　　　　もしｖ3＝０，ｆ3＝０ならば，

　　　　２Ｅ＝４ｖ4＋５ｖ5＋・・・≧４Ｖ　同様に，２Ｅ≧４Ｆ

　　　　これより，Ｖ−Ｅ＋Ｆ≦Ｅ／２＋Ｅ／２−Ｅ＝０

　　　　これはオイラーの多面体定理：Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２に矛盾するから，

　　　　ｖ3，ｆ3のうち，少なくとも１つは０でない．

　もっとよい評価を与えると

　　ｆ3＋ｆ4＋・・・＝ｆ，３ｆ3＋４ｆ4＋・・・＝２ｅ

　　ｖ3＋ｖ4＋・・・＝ｖ，３ｖ3＋４ｖ4＋・・・＝２ｅ

したがって，

　　ｆ3−ｆ5−２ｆ6−・・・＝４ｆ−２ｅ

　　ｖ3−ｖ5−２ｖ6−・・・＝４ｖ−２ｅ

　オイラーの多面体定理より，４ｆ＋４ｖ＝４ｅ＋８ですから，これらを加えると，

　　ｆ3＋ｖ3＝８＋（ｆ5＋ｖ5）＋２（ｆ6＋ｖ6）＋・・・≧８

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［Ｑ］正多面体は５種類しかない．

　ｐ角形面およびｑ稜頂点をもつ正多面体を，シュレーフリにしたがって

　　（ｐ，ｑ）

で表すことにしましょう．前項より，

　　ａ）ｐ，ｑのいずれかは３に等しくならなければならない．

　　ｂ）ｐ，ｑは５を越えることができない．

ですから，このような整数の組は（ｐ，ｑ）＝（３，３），（３，４），（３，５），（４，３），（５，３）の５通りで，それぞれ，正４面体，正８面体，正２０面体，正６面体，正１２面体に対応します．

　すなわち，正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類あって５種類しかないことが比較的簡単に証明できます．このことはギリシャのプラトンの時代にはすでに見つけられていて，それらがプラトンの自然哲学で重要な役割を演ずるところから，正多面体はプラトンの立体（Platonic solod）とも呼ばれています．

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［Ｑ］同じ大きさの正多角形のタイルを床に貼る．もし床がこのタイルで過不足なく貼られるとき，このタイルは正何角形か？

　平面充填形は正三角形，正方形，正六角形の３種類に限ることは，昔からよく知られていますが，このうち正方形のは碁盤，正六角形のは蜂の巣などでおなじみでしょう．

　正多面体は５種類しかないことに３種類の平面充填形（３，６），（４，４），（６，３）を加えておくと都合がよいのですが，（３，６）は正三角形格子，（４，４）は正方格子，（６，３）は正六角形格子で，平面充填形は，面数が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体（退化した多面体）ですから，一種の正２面体群と解釈することができます．

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