曲面には二つの種類がある。一つは向き付け可能な曲面で、球面にいくつかの取っ手をつけたものと考えられる。

もう一つは向き付け不可能な曲面で、クロスキャップをもっているものである（射影平面とクラインの壺）

ティーツェは向き付け不可能な曲面上の地図に対して、同様の問題を提起した。

　ｖ−ｅ＋ｆ＝２−ｇ

を利用して

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋２４ｇ）｝／２］

しかし、ｇ＝２のクラインの壺に対して、この上界で示された7ではなく、６であることが明らかになった。（一つの例外）

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