球を六角形でタイル貼りすることができないこと以上に驚くべきことがある．もし球を５角形と六角形からなる地図で敷き詰めたならば，サッカーボールのようにちょうど１２個の５角形がなければならないというものである．

（Ｑ）五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個ある．

（Ａ）ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・

　　６Ｆ−２Ｅ≧１２

に代入すると

　　３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２

　地図のように２つの辺に囲まれた領域まで許すことにすると，この数え上げ公式は

　　４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２

となり，係数が１ずつ小さくなり，それが０となるｆ6は式中に現れない．

　このことからもｆ3，ｆ4，ｆ5の少なくとも１つは０でない→多面体には３角形か４角形面か５角形面が少なくとも１つなければならない，同様に，多面体の少なくとも１つの頂点は３次か４次か５次でなければならない→すべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつことが導き出される．これもオイラーが知っていた結果であるということである．

　ここで，

(1)ｆ2＝ｆ3＝ｆ4＝０だとすると，少なくとも１２個のｆ5がなければならないことになる（フラーレン）．

(2)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２（切頂二十面体など）

(3)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体など）

(4)多面体の面がすべてｆ4，ｆ6，ｆ8であるならば，ｆ4＝ｆ8＋６（大菱形立方八面体など）

(5)多面体の面がすべてｆ3とｆ6であるならば，ｆ3＝４（切頂四面体など）

　すなわち，球面を六角形と三角形で覆うとしたら，ちょうど４個の三角形が必要である．一般に，球面を六角形とｎ角形で覆うとしたら，ちょうどｋ＝１２／（６−ｎ）個のｎ角形が必要である．ｎ＝３，４，５のとき，

　　ｋ＝１２／（６−ｎ）＝４，６，１２

であるが，これは正多面体の面数と同じである．これらの結果は極めて重要で，四色定理の証明の中核をなしている．

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