【５】７本の辺をもつ多面体？

　ｐi≧３，ｑi≧３ですから

　　２ｅ≧３ｆ，２ｅ≧３ｖ

このことから多面体は７本の辺をもつこと（ｅ＝７）は不可能であることが証明されます．

（証）ｅ＝７なる多面体が存在したと仮定すると，３ｆ≦１４，３ｖ≦１４．ｆ，ｖは面，頂点の個数なので，３より大きな整数でなければならない．したがって，ｆ＝４，ｖ＝４，ｅ＝７となるが，これはオイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

を満たさないので矛盾が生じる．

　このことから

　　ｆ≧４，ｖ≧４，ｅ≧６（ｅ≠７）

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