正則とは限らない一般の多面体では

　　Σｐi＝ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ，

　　Σｑi＝ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ

となります．ｐi≧３，ｑi≧３ですから

　　２ｅ≧３ｆ，２ｅ≧３ｖ

　このことから多面体は７本の辺をもつこと（ｅ＝７）は不可能であることが証明されます．

（証）ｅ＝７なる多面体が存在したと仮定すると，３ｆ≦１４，３ｖ≦１４．ｆ，ｖは面，頂点の個数なので，３より大きな整数でなければならない．したがって，ｆ＝４，ｖ＝４，ｅ＝７となるが，これはオイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

を満たさないので矛盾が生じる．

　このことから

　　ｆ≧４，ｖ≧４，ｅ≧６（ｅ≠７）

であることがわかりましたが，他にオイラーの多面体定理で示される制限はないのでしょうか？

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２，２ｅ≧３ｆ，２ｅ≧３ｖ

を組み合わせると，

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｆ＋４　→　ｆ≦２ｖ−４

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｖ＋４　→　ｖ≦２ｆ−４

これらはシュタイニッツの定理（１９０６年）と呼ばれますが，オイラー自身すでに

　　ｆ≦２ｖ−４，ｖ≦２ｆ−４

という結果を知っていたようです．

　また，別の組合せ方をすると，

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≦２ｅ＋３ｆ　→　３ｆ−ｅ≧６

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≧２ｅ＋３ｖ　→　３ｖ−ｅ≧６

も得られます．

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　つぎに，３次元立体では必ず頂点に結合する辺の個数が３の頂点か３角形の面をもつことを示します．ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　i)Σｎｆn＝Σｎｖn

　ii)Σｆ2n+1は偶数

　iii)ｖ3＋ｆ3＞０

を順に示していきます．

（証）各辺は２個の頂点をもつから，Σｎｖn＝２Ｅ．また，各辺では２枚の面が交わるからΣｎｆn＝２Ｅ．

（証）ｉ）より，Σ（２ｎ＋１）ｆ2n+1＝（偶数），したがって，Σｆ2n+1も偶数．

（証）Ｅ＝Σｅn，Ｖ＝Σｖn，Ｆ＝Σｆn，Σｎｆn＝Σｎｖn＝２Ｅ．　　　　もしｖ3＝０，ｆ3＝０ならば，２Ｅ＝４ｖ4＋５ｖ5＋・・・≧４Ｖ．同様に，２Ｅ≧４Ｆ．これより，Ｖ−Ｅ＋Ｆ≦Ｅ／２＋Ｅ／２−Ｅ＝０．これはオイラーの多面体定理：Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２に矛盾するから，ｖ3，ｆ3のうち，少なくとも１つは０でない．

　さらに，オイラーの多面体定理で示される制限からいえることとして，

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・

を

　　６Ｆ−２Ｅ≧１２

に代入すると

　　３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２

　このことから，ｆ3，ｆ4，ｆ5の少なくとも１つは０でない→多面体には３角形か４角形面か５角形面が少なくとも１つなければならない，同様に，多面体の少なくとも１つの頂点は３次か４次か５次でなければならない→すべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつことが導き出されます．これもオイラーが知っていた結果であるということです．

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