【５】交代行列式とマヤ図形

　１９６８年，ヤング図形と同様の図形があるゲームに関連して佐藤幹夫先生によって導入され，マヤ図形と呼ばれています．ヤング図形と別の表現としてマヤ図形を用いる方が便利なことも多いのですが，マヤ図形は１次元的に配列されたセルにフェルミオンが分配されていることを示す図形であると考えることができます．

　１つのセルにはフェルミオンは１個しか入れないものとします．そして，粒子が入っているセルには○，入っていないセルには●を書くことにしますが，フェルミオンが入っているセルは縦棒を伸ばすことに，入っていないセルは横棒を伸ばすことに対応させると，ヤング図形と１：１対応します．

　　○○●●＝　　　　　●●○○＝□□　　　○●○●＝□

　　　　　　　　　　　　　　　　　□□

　　●○●○＝□□　　　○●●○＝□□　　　●○○●＝□

　　　　　　　□ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

　ここでは，交代行列の行列式について考えてみます．

　　｜０　　ａ12｜＝（ａ12）^2

　　｜−ａ12　０｜

　　｜０　　　ａ12　　ａ13｜

　　｜−ａ12　０　　　ａ23｜＝０

　　｜−ａ13　−ａ23　０　｜

　　｜０　　　ａ12　　ａ13　　ａ14｜

　　｜−ａ12　０　　　ａ23　　ａ24｜

　　｜−ａ13　−ａ23　０　　　ａ34｜

　　｜−ａ14　−ａ24　−ａ34　０　｜

　＝（ａ12ａ34−ａ13ｘａ24＋ａ14ｘａ23）^2

　一般に，ｎ次の交代行列（Ｘ’＝−Ｘ）すなわちｘii＝０，ｘij＝−ｘjiであるとき，その行列式はｎが奇数ならば０，偶数ならばある多項式の完全平方式になることがわかります．

　　｜０　ｘ12　ｘ13・・・ｘ1n｜

　　｜−ｘ12　０　ｘ23・・ｘ2n｜＝Ｐ^2　　　（ｎ：偶数）

　　｜・・・・・・・・・・・・｜　０　　　　（ｎ：奇数）

　　｜−ｘ1n　−ｘ2n・・・０ ｜

　このときＰをパフィアンといいます．４次のパフィアンは

　　Ｐ＝ａ12ａ34−ａ13ｘａ24＋ａ14ｘａ23

です．パッフは微分方程式のパッフ形式で有名で，ガウスの博士論文の審査員であったことでも知られています．

　Ｐの符号はマヤ図形やヤング図形を用いたテンソル積によって定めるのですが，たとえば，４次のパフィアンはマヤ図形を用いて

　　(1,2,3,4)=(1,2)(3,4)-(1,3)(2,4)+(1,4)(2,3)

　　○○○○×●●●●＝　○○●●×●●○○

　　　　　　　　　　　　−○●○●×●○●○

　　　　　　　　　　　　＋○●●○×●○○●

と展開されます．

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