ところで，交代級数では，元の級数の項の順番を変えると収束値が変動してしまう．たとえば，負項を正項に変えて，あとでその２倍を引くと，

　１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・

＝（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・）−２（１／２＋１／４＋１／６＋１／８＋・・・）

＝（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・）−（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・）

＝０

　また，この交代級数は奇数の逆数と偶数の逆数に−１をかけたものからできているが，足し合わせる順序が違う級数，たとえば，負の項が２つの連続する正の項をはさんで現れる級数：

　　１／１＋１／３−１／２＋１／５＋１／７−１／４＋・・・

では３／２ｌｏｇ２に収束することがわかっている．

　これらは無限のパラドックスの一つの例である．有限級数ならば，足し算の順序に入れ替えは自由にできるが，無限級数となると話はまったく違ってくる．正の項と負の項がいずれも絶対収束するとき，級数の和の順番は勝手に変えてもよいのであるが，そうでない場合は，足す順序によっては級数の和が異なってくる．実は，条件収束級数の場合，級数の項の順番を適当に変えるとどんな値にでも収束させることができることが知られている．

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