フラクタルが登場するまで，図形の次元は１か２か３に限られていた．幾何学では分数次元を想像することも可能であるが，中でも有名なのは「コッホ雪片」である．コッホ雪片ではまず１辺の長さ１の正三角形を描く．それぞれの辺を３等分し，真ん中の部分を取り除く．そこに同じ長さの辺でできたＶ字型を置く．この操作を何回も繰り返すと，雪の結晶のような形になる．

　周長は１回の操作ごとに１／３ずつ増えるので，ｎ回後の長さは（４／３）^n→∞である．また，無限に繰り返した結果できるフラクタル図形の面積は

　　Ｓ＝√３／４＋√３／４・（１／３）^2・３＋√３／４・（１／９）^2・３・４＋√３／４・（１／２７）^2・３・４・４＋・・・＝√３／４＋√３／１２／（１−４／９）＝√３／４＋３√３／２０＝２√３／５である．つまり，無限の周囲が有限の面積を囲んでいることになる．

ほかの例も挙げてみたい

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【１】ゴスパー曲線

　コッホ雪片に似たゴスパー曲線は，１回の操作ごとに全体の長さは３／√７倍になるので，ｎ回後の長さは（３／√７）^nである．この曲線は１次元の線ではない．また，同時に２次元でもない．そこで，このような曲線はフラクタル次元をもつといわれ，その次元は

　　ｌｏｇ３／ｌｏｇ√７＝ｌｏｇ９／ｌｏｇ７＝１．１２９１５

で，線の次元よりは上だが，面の次元よりは下になる．

　方眼紙を１枚もってきてこの図形にかぶせ，この図形を覆っているマス目の個数を数える．つぎにマス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返す．もとの図形が線であればマス目の数は２＝２^1倍に，面であればマス目の数は４＝２^2倍に増える．

　コッホ曲線では，マス目の大きさを１／√７にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は３倍になるから，

　　（１／√７）^d＝３→ｄ＝ｌｏｇ９／ｌｏｇ７＝１．１２９１５

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【２】ドラゴン曲線

　ドラゴン曲線は，１回の操作ごとに全体の長さは２倍になるので，ｎ回後の長さは２^nである．

　ドラゴン曲線では，マス目の大きさを１／２にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は４倍になるから，

　　２^d＝４→ｄ＝２

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