フラクタルとは有限の空間に無限の集合がたたみこまれたものである。長さが有限の場合はその長さを精密に計算し評価することができるが、長さが有限でない場合はそれ以上測りようがなくなってしまう。

ハウスドルフ次元には次元と呼ばれるパラメータが備わっており、長さが有限でない曲線の大きさを測ることができる。例えば、・・・

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【１】コッホ曲線

　コッホ曲線では１回の操作ごとに全体の長さは１／３ずつ増えるので，ｎ回後の長さは（４／３）^nである．この曲線は１次元の線ではない．また，同時に２次元でもない．そこで，このような曲線はフラクタル次元をもつといわれ，その次元は

　　ｌｏｇ４／ｌｏｇ３＝１．２６

で，線の次元よりは上だが，面の次元よりは下になる．

　方眼紙を１枚もってきてこの図形にかぶせ，この図形を覆っているマス目の個数を数える．つぎにマス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返す．もとの図形が線であればマス目の数は２＝２^1倍に，面であればマス目の数は４＝２^2倍に増える．

　コッホ曲線では，マス目の大きさを１／３にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は４倍になるから，

　　３^d＝４→ｄ＝ｌｏｇ４／ｌｏｇ３＝１．２６

マス目の大きさを半分にした方眼紙であれば，２^1.26倍に増えるのである．

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【２】シェルピンスキーの三角形

　ます単純な三角形を描き，次にもとの三角形の半分の大きさの三角形を３つ作って，もとの三角形のそれぞれの隅におく（三角形を４つの合同な三角形に分割して中央の三角形を取り除く）．これを無限回繰り返す．

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　マス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は３倍になるから，そのフラクタル次元は

　　２^d＝３→ｄ＝ｌｏｇ３／ｌｏｇ２＝１．５８５

となる．

　その３次元版，ます単純な四面体を描き，次にもとの四面体の半分の大きさの四面体を４つ作って，もとの四面体のそれぞれの隅におく．これを無限回繰り返す．

　マス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は４倍になるから，そのフラクタル次元は

　　２^d＝４→ｄ＝ｌｏｇ４／ｌｏｇ２＝２

となる．

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【３】シェルピンスキーのカーペット

　ます単純な正方形を描き，次にそれを同じ大きさの９つの正方形に分割して，中央の１個を取り除く．これを無限回繰り返す．

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　マス目の大きさを１／３にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は８倍になるから，そのフラクタル次元は

　　３^d＝８→ｄ＝３ｌｏｇ２／ｌｏｇ３

となる．

　その３次元版（メンガーのスポンジ）では，ます単純な立方体を描き，次に同じ大きさの２７個の正方形に分割して，体心と面心に位置する７個を取り除く．これを無限回繰り返す．

　マス目の大きさを１／３にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は２０倍になるから，そのフラクタル次元は

　　３^d＝２０→ｄ＝ｌｏｇ２０／ｌｏｇ３

となる．

　細分が進むにつれて，メンガーのスポンジの体積はどんどん小さくなるが，表面積は際限なく増え続ける．

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