放物線や双曲線の場合も楕円と同じ問題を考えてみたい

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　平面（ｚ＝ａｙ＋ｂ）の傾きが母線よりと小さい場合（ａ＜１／Ｒ），

　　１−ａ^2Ｒ^2＞０

ｘ^2＋（１−ａ^2Ｒ^2）／（１＋ａ^2）｛ｙ−ａｂＲ√（１＋ａ^2）／（１−ａ^2Ｒ^2）｝^2＝ｂ^2Ｒ^2／（１＋ａ^2）

→ｘ^2／α^2＋（ｙ−γ）^2／β^2＝１

である．

　円錐面をｘ^2＋ｙ^2＝Ｒ^2ｚとしてもよいのであるが，母線の傾きを考えて

　　ｘ^2＋ｙ^2＝Ｒ^2ｚ^2

とすると，母線はｚ＝±ｙ／Ｒとなる．

　平面（ｚ＝ａｙ＋ｂ）の傾きが母線よりと小さい場合（ａ＜１／Ｒ），

x=X

y=Y/√(1+a^2)-aZ/√(1+a^2)

z=aY/√(1+a^2)+Z/√(1+a^2)+b

Z=0とすると

y=Y/√(1+a^2)

z=aY/√(1+a^2)+b={aY+b√(1+a^2)}/√(1+a^2)

をｘ^2＋ｙ^2＝Ｒ^2ｚ^2に代入する.

X^2+1/(1+a^2)・(Y)^2=R^2・1/(1+a^2)・(aY+b√(1+a^2))^2

X^2+1/(1+a^2)・Y^2=R^2/(1+a^2)・(a^2Y^2+2ab√(1+a^2)Y+b^2(1+a^2))

X^2+1/(1+a^2)・{(1-a^2R^2)Y^2-R^2・2ab√(1+a^2)・Y} =b^2R^2

X^2+(1-a^2R^2)/(1+a^2)・{Y^2-R^2・2ab√(1+a^2)/(1-a^2R^2)・Y} =b^2R^2

X^2+(1-a^2R^2)/(1+a^2)・{Y-R^2・ab√(1+a^2)/(1-a^2R^2)}^2 =b^2R^2+(1-a^2R^2)/(1+a^2)・{R^2・ab√(1+a^2)/(1-a^2R^2)}^2

X^2+(1-a^2R^2)/(1+a^2)・{Y-R^2・ab√(1+a^2)/(1-a^2R^2)} =b^2R^2+{R^2・ab}^2/(1-a^2R^2)

={b^2R^2(1-a^2R^2)^2+R^4・a^2b^2}/(1-a^2R^2)=(b^2R^2)/(1-a^2R^2)

X^2/{b^2R^2/(1-a^2R^2)}+(1-a^2R^2)^2/(b^2R^2)(1+a^2)・{Y-R^2・ab(1+a^2)^1/2/(1-a^2R^2)} =1

α=bR/(1-a^2R^2)^1/2,β=bR(1+a^2)^1/2/(1-a^2R^2),γ=R^2・ab(1+a^2)^1/2/(1-a^2R^2)=aβR・・・OK　

β^2e^2=β^2-α^2=b^2R^2(1+a^2)/(1-a^2R^2)^2-b^2R^2/(1-a^2R^2)=b^2R^2/(1-a^2R^2)^2・{(1+a^2)-(1-a^2R^2)}

=a^2b^2R^2(1+R^2)/(1-a^2R^2)^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

小球の中心を(0,c),半径をr とする

z=ay+b,z=-y/Rまでの距離はそれぞれr= (b-c)/(1+a^2)^1/2=c/(1+1/R^2)^1/2=cR/(1+R^2)^1/2

b/(1+a^2)^1/2=c{1/(1+a^2)^1/2+R/(1+R^2)^1/2}

b(1+R^2)^1/2=c{(1+R^2)^1/2+R(1+a^2)^1/2}

b(1+R^2)^1/2{(1+R^2)^1/2-R(1+a^2)^1/2}=c{(1+R^2)-R^2(1+a^2)}=c{1-a^2R^2}

b{(1+R^2)-R(1+a^2)^1/2(1+R^2)^1/2}=c{(1+R^2)-R^2(1+a^2)}=c{1-a^2R^2}

c=b{(1+R^2)-R(1+a^2)^1/2(1+R^2)^1/2}/{1-a^2R^2}

c-b=b{R^2(1+a^2)-R(1+a^2)^1/2(1+R^2)^1/2}/{1-a^2R^2}

c-b=bR{R(1+a^2)-(1+a^2)^1/2(1+R^2)^1/2}/{1-a^2R^2}

この結果は幾何学的にも求められるはずである。

tanθ=1/R

r=c・cosθ=cR/(1+R^2)^1/2

tanθ=a

r=(b-c)・cosθ=(b-c)・1 /(1+a^2)^1/2

z=ay+bとz-c=-1/a・yとの交点は

ay+b=-1/a・y+c

y(a+1/a)=c-b

y=a(c-b)/(1+a^2),z=a^2(c-b)/(1+a^2)+b,z=-(c-b)/(1+a^2)+c=(b+a^2c)/(1+a^2)

Y=y/√(1+a^2)+a(z-b)/√(1+a^2)

Z=-ay/√(1+a^2)+(z-b)/√(1+a^2)=0に代入すると

y+az-ab=a(c-b)/(1+a^2)+a(b+a^2c)/(1+a^2)-ab(1+a^2)/(1+a^2)=a(1+a^2)(c-b)/(1+a^2)=a(c-b)

Y={a(c-b)}/(1+a^2)^1/2

Y={a(c-b)}/(1+a^2)^1/2=abR{R(1+a^2)^1/2-(1+R^2)^1/2}/{1-a^2R^2}=aβR-βe＝γ-βe

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［２］平面（ｚ＝ａｙ＋ｂ）の傾きが母線に等しい場合（ａ＝１／Ｒ），

　　１−ａ^2Ｒ^2＝０

　　ｘ^2＋ｙ^2／（１＋ａ^2）＝Ｒ^2（ａｙ／√（１＋ａ^2）＋ｂ）^2

＝Ｒ^2ａ^2ｙ^2／（１＋ａ^2）＋２Ｒ^2ａｂｙ／√（１＋ａ^2）＋Ｒ^2ｂ^2

　　ｘ^2＝２Ｒ^2ａｂｙ／√（１＋ａ^2）＋Ｒ^2ｂ^2　（放物線）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x=X

y=Y/√(1+a^2)-aZ/√(1+a^2)

z=aY/√(1+a^2)+Z/√(1+a^2)+b

Z=0とすると

y=Y/√(1+a^2)

z=aY/√(1+a^2)+b={aY+b√(1+a^2)}/√(1+a^2)

をｘ^2＋ｙ^2＝Ｒ^2ｚ^2に代入する.

X^2+1/(1+a^2)・(Y)^2=R^2・1/(1+a^2)・(aY+b√(1+a^2))^2

X^2+1/(1+a^2)・Y^2=R^2/(1+a^2)・(a^2Y^2+2ab√(1+a^2)Y+b^2(1+a^2))

X^2+1/(1+a^2)・{(1-a^2R^2)Y^2-R^2・2ab√(1+a^2)・Y} =b^2R^2

aR=1より

X^2+1/(1+a^2)・{-R^2・2ab√(1+a^2)・Y} =b^2R^2

X^2=1/(1+a^2)^1/2・{R^2・2ab・Y} +b^2R^2=1/a(1+a^2)^1/2・{2b・Y} +b^2R^2・・・放物線

しかし、球を置く位置が定まらない

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝