ピックの公式（１８９９年）とは，任意の格子多角形の面積が以下の式で表されるというものである．

　　Ａ＝Ｉ＋Ｂ／２−１

　　　Ａ：格子多角形の面積

　　　Ｉ：内部の点の個数

　　　Ｂ：境界線上の点の個数

　整数点を数えれば面積がだいたいわかるというのが離散体積の問題である．ピックの公式は誰でも理解できる．小学生でも理解できるが，ピックが発見するまで誰も気がつかなかった・・・．

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【１】スコットの定理（公式にある定数１）

　格子点を端点とし，途中に格子点をもたない線分を基本線分と呼ぶ．Ｅを基本線分の数，Ｆを格子多角形から境界を取り除いたときに分かれる部分数とすると，

　　Ａ＝Ｉ＋Ｅ／２−Ｆ

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【２】エルハルト多項式

　スコットの定理はピックの定理の一般化であるが，例えば、以下に掲げる格子多面体の離散体積など，１９５０年代のエルハルトの研究はピックの公式の高次元への一般化といえる．

　単位立方体のｎ拡大では

　　Ｌn＝（ｎ＋１）^3＝ｎ^3＋３ｎ^2＋３ｎ＋１

　ｎ＝−１では

　　Ｌ-1＝−ｎ^3＋３ｎ^2−３ｎ＋１＝−（ｎ−１）^3

となり，これは内部の格子点の個数は（ｎ−１）^3であることを主張するものである．

　一般に，凸格子多面体Ｐは，Ｌ個の格子点，Ｉ個の内部格子点，Ｂ＝Ｌ−Ｉ個の境界格子点をもち，体積Ｖとする．このとき，Ｐのｎ拡大体の格子点の個数は

　　Ｌn＝Ｖｎ^3＋（（Ｌ−１）／２−１）ｎ^2＋（（Ｌ＋１）／２−Ｖ）ｎ＋１

となる．

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