格子多面体（整多面体）は頂点がすべて整数である多面体

有理多面体は頂点がすべて有理数である多面体のことである。

格子多面体の f(n)(ｎ拡大)は多項式

有理多面体のf(n)は準多項式になる。例えば(-1/2,1),(-1/2,-1/2),(1,-1/2)を頂点とする三角形の場合、

f(0)=1,f(1)=1,f(2)=10,f(3)=10,f(4)=28

ｎが偶数のとき、f(n)=9n^2/8+9n/4+1=P0

ｎが奇数のとき、f(n)=9n^2/8-1/8=P1

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[Q] (1,0,0),(0,1/5,0),(0,0,1/10)を頂点とする三角形の場合、f(7000)を求めよ。

[A]まず１円玉、５円玉、10円玉でｎ円を支払う場合の数を考えてみる。

1/(1-x)(1-y^5)(1-z^10)=(1+x+x^2+・・・)(1+y^5+y^10+・・・)(1+z^10+z^202+・・・)のx^ay^5bz^10cの項で

a+5b+10c円支払うことに対応させることができる。

nP={(x,y,z)|x+5y+10z=n}

準多項式はP0からP9まであるのだが、P0が決定できればよい

f(0)=1,f(10)=4,f(20)=9を具体的に計算すればP0=f(n)=n^2/100+n/5+1

f(7000)=491401

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