ピックの公式（１８９９年）とは，任意の格子多角形の面積が以下の式で表されるというものである．

　　Ａ＝Ｉ＋Ｂ／２−１

　　　Ａ：格子多角形の面積

　　　Ｉ：内部の点の個数

　　　Ｂ：境界線上の点の個数

　今回のコラムではピックの公式のｎ次拡大を取り上げるが，Ｚ^2上の格子多角形を４倍に拡大した格子多角形の内部の格子点の個数は必ず奇数である（アコーピャン・田上の定理）

（証）Ａは１６倍，Ｂは４倍，したがって，ピックの公式によりＩは奇数となる．

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【１】２次元のｎ拡大

　アコーピャン・田上の定理は４拡大の例であるが，ここでは，格子点の点の個数Ｌ＝Ｉ＋Ｂを問題にするため，ピックの公式を並び替えて

　　Ｌ＝Ａ＋Ｂ／２＋１

　　　Ａ：格子多角形の面積

　　　Ｌ：格子点の個数

　　　Ｂ：境界線上の点の個数

とする．

　ｎ拡大（原点を中心としてｎ倍拡大）では

　　Ｌn＝Ａn＋Ｂn／２＋１　　（Ａn＝Ａｎ^2，Ｂn＝Ｂｎ）

　　Ｌn＝Ａｎ^2＋Ｂｎ／２＋１

　ｎ＝０ではＬ0＝１であり，ひとつの格子点につぶれる．ｎ＝−１では

　　Ｌ-1＝Ａ−Ｂ／２＋１＝（Ａ＋Ｂ／２＋１）−Ｂ＝Ｌ−Ｂ

となり，これは内部の格子点の個数となる．

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【２】３次元の場合のｎ拡大

　単位立方体のｎ拡大では

　　Ｌn＝（ｎ＋１）^3＝ｎ^3＋３ｎ^2＋３ｎ＋１

　ｎ＝−１では

　　Ｌ-1＝−ｎ^3＋３ｎ^2−３ｎ＋１＝−（ｎ−１）^3

となり，これは内部の格子点の個数は（ｎ−１）^3であることを主張するものである．

　３次元の場合のｎ拡大については

　　［参］ベック，ロビンズ「離散体積計算による組合せ数学入門」シュプリンガー・ジャパン

を参照されたい．

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格子多面体（整多面体）は頂点がすべて整数である多面体

有理多面体は頂点がすべて有理数である多面体のことである。

格子多面体の f(n)(ｎ拡大)は多項式

有理多面体のf(n)は準多項式になる。例えば(-1/2,1),(-1/2,-1/2),(1,-1/2)を頂点とする三角形の場合、

f(0)=1,f(1)=1,f(2)=10,f(3)=10,f(4)=28

ｎが偶数のとき、f(n)=9n^2/8+9n/4+1

ｎが奇数のとき、f(n)=9n^2/8-1/8

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