ｎ乗数の下１桁の頻度は，０を含めない計算ではあるが，

ｘ ：　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９

ｘ^2：　　１　　４　　９　　６　　５　　６　　９　　４　　１

ｘ^3：　　１　　８　　７　　４　　５　　６　　３　　２　　９

ｘ^4：　　１　　６　　１　　６　　５　　６　　１　　６　　１

　ここでは，ｎ乗して上１桁だけ残しておく．

ｘ ：　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９

ｘ^2：　　１　　４　　９　　１　　２　　３　　４　　６　　８

ｘ^3：　　１　　８　　２　　６　　１　　２　　３　　５　　７

ｘ^4：　　１　　１　　８　　２　　６　　１　　２　　４　　６

ｘ^5：　　１　　３　　２　　１　　３　　７　　１　　３　　５

ｘ^6：　　１　　６　　７　　４　　１　　４　　１　　２　　５

ｘ^7：　　１　　１　　２　　１　　７　　２　　８　　２　　４

ｘ^8：　　１　　２　　６　　６　　３　　１　　５　　１　　４

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

２のｎ乗数の場合、２^(n-1)と２^nの桁数が異なるとき、２^nの上１桁はかならず１である。

２^(n+1)は２^nと桁数が同じで、上１桁は１でない。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

[Q]２^100が31桁の数であることを既知として、N＝２^n (n=0~100)のうち,上１桁が１であるものの個数を求めよ

[A]１桁、2桁、・・・、３１桁のものがちょうど一つずつあるので、答えは３１個。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

上１桁が１であることは

10^k＜=N＜2・10^k

k＜=logN/log10＜k+log2/log10

すなわち、logN/log10の小数部分が0＜=・・・＜log2/log10 であることと同値です。

一方、logN/log10の小数部分は円周上にlog2/log10ごとに等間隔で並びます。

区間[0,log2/log10)の長さと等間隔が一致していることから、円周上を回る回数と等しくなる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝