円柱を斜めに切ると切り口は楕円になる．円錐曲線の学び初めに，円錐を斜めに切ると切り口は楕円になることを学んだが，切り口は少しずつ先すぼまりになって卵形になるのではと思われた方は少なくないのではなかろうか？

　切断に用いた平面と円錐の両方に接する頂点側と底面側の２つの球（ダンデリンの球）を考えると，球は楕円の２つの焦点と接することから，切り口は楕円になることを証明することができるのであるが，それを直観するのは難しい．そこで，・・・

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　円錐面をｘ^2＋ｙ^2＝Ｒ^2ｚとしてもよいのであるが，母線の傾きを考えて

　　ｘ^2＋ｙ^2＝Ｒ^2ｚ^2

とすると，母線はｚ＝±ｙ／Ｒとなる．

　平面（ｚ＝ａｙ＋ｂ）の傾きが母線よりと小さい場合（ａ＜１／Ｒ），

　　ｘ^2＋ｙ^2／（１＋ａ^2）＝Ｒ^2（ａｙ／√（１＋ａ^2）＋ｂ）^2

　したがって，

ｘ^2＋（１−ａ^2Ｒ^2）／（１＋ａ^2）｛ｙ−ａｂＲ√（１＋ａ^2）／（１−ａ^2Ｒ^2）｝^2＝ｂ^2Ｒ^2／（１＋ａ^2）

ｘ^2／α^2＋（ｙ−γ）^2／β^2＝１

α＝ｂＲ／√（１−ａ^2Ｒ^2），β＝ｂＲ{√（１＋ａ^2）}／（１−ａ^2Ｒ^2），γ＝ａＲβ

γ＝ａＲβ=aRｂＲ√（１＋ａ^2）／（１−ａ^2Ｒ^2）

となって，切り口は楕円である．卵形ではなかった．

α^2-β^2=(bR)^2/(1-a^2R^2)-(bR)^2(1+a^2)/(1-a^2R^2)^2=(bR)^2 /(1-a^2R^2)^2・{(1-a^2R^2)-(1+a^2)}

-α^2+β^2=(bR)^2/(1-a^2R^2)-(bR)^2(1+a^2)/(1-a^2R^2)^2=(abR)^2 (1+R^2)/(1-a^2R^2)^2

y軸上に焦点があることに注意

e=(abR)√(1+R^2)/(1-a^2R^2)

βe=ｂＲ{√（１＋ａ^2）}／（１−ａ^2Ｒ^2）(abR)・√{(1+R^2)} /(1-a^2R^2)

βe=(ab^2R^2)・√(1+R^2) √(1+a^2) /(1-a^2R^2)^2

γ＝ａＲβ=aRｂＲ√（１＋ａ^2）／（１−ａ^2Ｒ^2）

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(x,y,z)→(X,Y,Z)の座標軸の回転を考えると,tanθ=a,cosθ=1/√（１＋ａ^2）,sinθ＝a/√（１＋ａ^2）であるから

x=X

y=1/√（１＋ａ^2）・Y-a/√（１＋ａ^2）・Z

z=a/√（１＋ａ^2）・Y+1/√（１＋ａ^2）・Z+b

　平面（ｚ＝ａｙ＋ｂ）に代入すると

a/√（１＋ａ^2）・Y+1/√（１＋ａ^2）・Z+b＝a/√（１＋ａ^2）・Y-a^2/√（１＋ａ^2）・Z+b

これを解いてZ=0を得る

x=X

y=1/√（１＋ａ^2）・Y-a/√（１＋ａ^2）・Z

z=a/√（１＋ａ^2）・Y+1/√（１＋ａ^2）・Z+b

において、Z=0とした式

x=X

y=1/√（１＋ａ^2）・Y

z=a/√（１＋ａ^2）・Y+bを

　　x^2＋ｙ^2＝Ｒ^2ｚ^2

に代入すると

　　X^2＋Y^2／（１＋ａ^2）＝Ｒ^2（ａY／√（１＋ａ^2）＋ｂ）^2

X^2／α^2＋（Y−γ）^2／β^2＝１

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ｚ＝±ｙ／Ｒ、ｙ＞０

ｚ＝ａｙ＋ｂを考える

円の方程式をy^2+(z-c)^2＝r^2とすると,

小さいほうの円ではc/√(1+1/R^2)=r=(b-c)/√(1+a^2)→c(1/√(1+1/R^2)+1/√(1+a^2))=b/√(1+a^2))→ｃ、ｒが求まる

c(R/√(1+R^2)+1/√(1+a^2))=b/√(1+a^2))

ｃ＝{b/√(1+a^2)}/(R/√(1+R^2)+1/√(1+a^2))

ｃ＝{b√(1+R^2)}/(R√(1+a^2)+√(1+R^2))

ｃ＝{b√(1+R^2)}(R√(1+a^2)-√(1+R^2))/(R^2(1+a^2)-(1+R^2))

ｃ＝{bR√(1+a^2)√(1+R^2)-b(1+R^2)}/(R^2a^2-1))

c-b={bR√(1+R^2)√(1+a^2)-b(1+R^2)}/(R^2a^2-1)-b

c-b=(bR√(1+R^2)√(1+a^2)-b(1+R^2+R^2a^2-1)}/(R^2a^2-1)

c-b={bR√(1+R^2)√(1+a^2)-bR^2(a^2+1)}/(R^2a^2-1)

c-b=bR{√(1+R^2)√(1+a^2)-R(a^2+1)}/(R^2a^2-1)

r=c/√(1+1/R^2)=cR/√(1+R^2)=R{bR√(1+a^2)√(1+R^2)-b(1+R^2)}/(R^2a^2-1))(1+R^2)

接点を(y0,z0)とするとz=ay+b,z-c=-1/R・ｙ→焦点

ay+b=-1/R・ｙ+c

y=(c-b)/(a+1/R)=bR^2{√(1+R^2)√(1+a^2)-R(a^2+1)}/(R^2a^2-1)(aR+1)

=(aR-1)bR^2{√(1+R^2)√(1+a^2)-R(a^2+1)}/(R^2a^2-1)^2

z=ay+b・・・Z=0

x=X

y=1/√（１＋ａ^2）・Y

z=a/√（１＋ａ^2）・Y+bを代入すると

y=1/√（１＋ａ^2）・Y

Y==(aR-1)bR^2{√(1+R^2)(1+a^2)-R(a^2+1)√(1+a^2)}/(R^2a^2-1)^2

Y=(aR-1)bR^2(1+a^2){√(1+R^2)-R√(1+a^2)}/(R^2a^2-1)^2

Y=-(aR-1)bR^3(1+a^2)√(1+a^2)}/(R^2a^2-1)^2+(aR-1)bR^2(1+a^2)√(1+R^2)/(R^2a^2-1)^2

Y=-(aR-1)bR^3(1+a^2)√(1+a^2)}/(R^2a^2-1)^2+(aR-1)bR^2(1+a^2)√(1+R^2)/(aR+1)(aR-1)(R^2a^2-1)

Y=-(aR-1)bR^3(1+a^2)√(1+a^2)}/(R^2a^2-1)^2+bR^2(1+a^2)√(1+R^2)/(aR+1)(R^2a^2-1)

これが-βe+γになっているようには見えない

βe=(ab^2R^2)・√(1+R^2) √(1+a^2) /(1-a^2R^2)^2

γ＝ａＲβ=aRｂＲ√（１＋ａ^2）／（１−ａ^2Ｒ^2）

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X=x

Y=1/√（１＋ａ^2）・y+a/√（１＋ａ^2）・(z-b)

Z=-a/√（１＋ａ^2）・y+1/√（１＋ａ^2）・(z-b)

に代入してみる

z=ay+bを代入するとZ=0

Y=(a^2y+1)/√（１＋ａ^2）

Y√（１＋ａ^2）=(a^2y+1)

y=(c-b)/(a+1/R)=bR^2{√(1+R^2)√(1+a^2)-R(a^2+1)}/(R^2a^2-1)(aR+1)

y=(c-b)/(a+1/R)=bR^2{√(1+R^2)√(1+a^2)-R(a^2+1)}/(R^2a^2-1)(aR+1)

=(aR-1)bR^2{√(1+R^2)√(1+a^2)-R(a^2+1)}/(R^2a^2-1)^2

(a^2y)={(aR-1)a^2bR^2√(1+R^2)√(1+a^2)-(aR-1)a^2bR^2R(a^2+1)}/(R^2a^2-1)^2

(a^2y+1)={(aR-1)a^2bR^2√(1+R^2)√(1+a^2)-(aR-1)a^2bR^2R(a^2+1)+(R^2a^2-1)^2}/(R^2a^2-1)^2

簡単にはなりそうにない

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確認のため、z=ay+bと母線ｚ=-y/Rの交点を求めてみたい。

y=b/(a+1/R)=bR/(aR+1)

z=-bR/(aR+1)

y=1/√（１＋ａ^2）・Y

z=a/√（１＋ａ^2）・Y+b

に代入するとY=b√（１＋ａ^2）/(a+1/R)=bR√（１＋ａ^2）/ (aR+1)≠β＝ｂＲ{√（１＋ａ^2）}／（１−ａ^2Ｒ^2）

Y=1/√（１＋ａ^2）・y+a/√（１＋ａ^2）・(z-b)

Z=-a/√（１＋ａ^2）・y+1/√（１＋ａ^2）・(z-b)

に代入すると

Y=1/√（１＋ａ^2）・y+a/√（１＋ａ^2）・(z-b)=1/√（１＋ａ^2）・{bR/(aR+1)+a(-Rb/(aR+1)-b)}

=1/√（１＋ａ^2）・{bR/(aR+1)+a(-Rb/(aR+1)-b)}=1/√（１＋ａ^2）・(bR-abR-b(aR+1)}/(aR+1)≠β

そもそもの計算が誤りだったことになる

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接点を(y0,z0)とするとz=-y/R,z-c=a・ｙ→準線

y=1/√（１＋ａ^2）・Y-a/√（１＋ａ^2）・Z

z=a/√（１＋ａ^2）・Y+1/√（１＋ａ^2）・Z+b

Y=1/√（１＋ａ^2）・y+a/√（１＋ａ^2）・z

Z-b=-a/√（１＋ａ^2）・y+1/√（１＋ａ^2）・z

大きいほうの円ではc/√(1+1/R^2)=r=(c-b)/√(1+a^2)→c(1/√(1+1/R^2)-1/√(1+a^2))=-b/√(1+a^2))

接点を(y0,z0)とするとz=ay+b,z-c=-1/R・ｙ→焦点

接点を(y0,z0)とするとz=y/R,z-c=a・ｙ→準線

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x^2/a^2+y^2/b^2=1、e=√(a^2-b^2)

焦点(±ae,0)

準線(x=±a/e)

X^2／α^2＋（Y−γ）^2／β^2＝１、e=√(α^2-β^2)

焦点(±ae,0)+γ→ａＲβ-a√(α^2-β^2)

準線(x=±a/e)＋γ

α＝ｂＲ／√（１−ａ^2Ｒ^2），β＝ｂＲ√（１＋ａ^2）／（１−ａ^2Ｒ^2），γ＝ａＲβ

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