【３】非単連結図形の場合

　単連結というのは内部に穴がひとつもない図形のことですが，その条件さえも緩めたらどうなるでしょうか？　実は，単連結でなくてもよいとしたとき，ベシコビッチ（ロシア）によって「前後を方向転換できるいくらでも面積の小さい図形を作ることができる」ことが証明され，掛谷の針の問題は意外な顛末を迎えました（１９２７年）．

　ベシコビッチは各方向に単位長の線分を含むルベーグ測度０の平面集合の存在に帰着しました．その際「ペロンの木」と呼ばれる図形操作と巧妙な平行移動を使って証明するのですが，ハンドルを細かく切り返すジグザグ運動を続けることで，１ｋｍの長さの針でも，切手１枚分の面積の図形の中で頭と尻尾を逆に方向転換できるというのですから，ベシコビッチの証明は直観に反しています．予想外であるうえ，常識ではとても受け入れられものではありません．多くの数学者にとっても予想が裏切られる結果になったわけで，その驚きはいかに大きかったであろうかと推察されます．

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