(1,R)を焦点とする楕円・放物線・双曲線(x^2/a^2+y^2/b^2=1,y^2=4px,x^2/a^2-y^2/b^2=1)を求めたい

軸はy=tan(mθ)x

(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)を通る。

(x,y)を標準的な座標(x^2/a^2+y^2/b^2=1,y^2=4px,x^2/a^2-y^2/b^2=1)とすると

X-1=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-R=[sinmθ, cosmθ][y]

y^2=4px,x=pt^2,y=2pt,(p+α)^2=1+R^2であってp^2=1+R^2ではない

(x1,y1)における接線はy1y=2p(x+x1)

y=0→x=-x1

(-x1,0)から(x1,y1)までの距離は1

R=tan(mθ)=cot(θ/2)

cos(mθ)=sin(θ/2)

sin(mθ)=cos(θ/2)

y^2=4pxをy=tan(mθ)を軸とする放物線に写したい。

円の場合は(1,R)が焦点、(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)が接点となっていた。両方を同時に満たすことを考える

図を描いてみると両方を満たすことは不可能なのかもしれない・・・

焦点が(1,R)がないと面積計算は難しい

一方、接点が(1,0)にないと面積が大きくなってしまう。

発想を変えて、星状集合ではなく、単連結集合ができたと考えればよいのかもしれない

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一方、焦点が(1,R)、(1,0)を通るという条件だけを使うと

y^2=4px

(0,0)→(α,αtan(mθ))=(α,β)

(p,0)→(1,R)

(x1,y1)→(1,0)

X-α=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][y]

1-α=cosmθ・p

R-β=sinmθ・p

1-α=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt

0-β=sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt

cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt-(1-α)=0

sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β=0

p,α,β,tは未知数、Rは既知

を同時に満たすｔが存在しなければならない。ｔはt<0なので

[1]{sinmθ・p-(sinmθ^2・p^2+cosmθ・p(1-α))^1/2}/cosmθ・p

[2]{-cosmθ・p+(cosmθ^2・p^2-sinmθ・p・β)^1/2}/sinmθ・p

[2]{-cosmθ・p-(cosmθ^2・p-sinmθ・p・β)^1/2}/sinmθ・p

[1]=[2]あるいは{cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt-(1-α)}^2+{sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β}^2=0

を解くのは厳しいし、そもそも未知数p,α,β,tが多すぎる

1-α=cosmθ・p

R-β=sinmθ・p

を先に用いる、ｔ＜0

cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt-(1-α)=0

sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β=0に代入すると

(1-α)t^2-(R-β)2t-(1-α)=0→t^2-2tanmθ・t-1=0→t=tanmθ-(tanmθ^2+4)^1/2

(R-β)t^2+(1-α)2t+β=0→(R-β)t^2+(1-α)2t+(1-α)=(1-α)-β

tanmθ・t^2+2t+1=(1-α)-α・tanmθ＝1-α(1+tanmθ)

tanmθ(2tanmθ^2+4-2tanmθ(tanmθ^2+4)^1/2)+2tanmθ-2(tanmθ^2+4)^1/2+1=1-α(1+tanmθ)

2tanmθ^3+4tanmθ-2tanmθ^2(tanmθ^2+4)^1/2+2tanmθ-2(tanmθ^2+4)^1/2=-α(1+tanmθ)

2tanmθ^3+6tanmθ-2(tanmθ^2+1)(tanmθ^2+4)^1/2=-α(1+tanmθ)

β=αtanmθ　

焦点が(1,R)にあることは不可能と考えられる

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y1^2=4px1,y1=-√(4px1)を消去する

x1=α/cosmθを代入すると,β=α・tanmθ,y1=2x1tanmθ=2αsinmθ/(cosmθ)^2

1-α=α+2α(tanmθ)^2→α=1/2(1+tanmθ^2) =1/2・(cosmθ)^2

0-β=αtanmθ-2αtanmθ=→-β=-α・tanmθ

p=(1-α)/cosmθ・・・同じ結果であった。したがって、焦点は(1,R)にならない。

焦点をほかに移動させるとすると(q,qtanmθ)

(q-α)^2+(qtanθ-β)^2=p^2となるが、未知数が増えるため、計算できない

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X-α=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][+/-√(4px)]

でもよいが

X-α=[cosmθ,-sinmθ][pt^2]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][2pt]としてy=tanθ・xとの交点(rcosθ,rsinθ)を求める。ｔは2次方程式の根の小さいほう

rcosθ-α=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt

rsinθ-β=sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt

rcosθ=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α

rsinθ=sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β

tanθ=(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β)/(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α), (α,β)は既知

を解いてtを求める。

(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β)=tanθ(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α)

a=(sinmθ-tanθcosmθ)・p

b=(cosmθ+tanθsinmθ)・p

c=β-tanθα

r^2=(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α)^2+(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β)^2

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反対方向に回転させた場合（あるいはYを反転させてもよい）

X-α=[cosmθ,-sinmθ][pt^2]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][2pt]

X=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α

Y=-sinmθ・pt^2-cosmθ・2pt-β,ｔは2次方程式の根の大きいほう

(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)を結ぶ直線

Y=(rsin2θ-rsinθ)/(-rcos2θ-rcosθ)・(X-rcosθ)+rsinθ

との交点を求める

(Y-rsinθ)(-rcos2θ-rcosθ)=(rsin2θ-rsinθ)・(X-rcosθ)

(-sinmθ・pt^2-cosmθ・2pt-β-rsinθ)(-rcos2θ-rcosθ)=(rsin2θ-rsinθ)・(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α-rcosθ)

(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β+rsinθ)(rcos2θ+rcosθ)=(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α-rcosθ)(rsin2θ-rsinθ)

a={sinmθ(rcos2θ+rcosθ)-cosmθ(rsin2θ-rsinθ)}・p

b=[cosmθ(rcos2θ+rcosθ)+sinmθ(rsin2θ-rsinθ)}・p

c=(β+rsinθ)(rcos2θ+rcosθ)-(α-rcosθ)(rsin2θ-rsinθ)

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(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)の中点((rcosθ-rcos2θ)/2,((rsinθ+rsin2θ)/2)

からの距離の2乗

2Lと1+rの比較が問題となる

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