【４】平面代数曲線

　ｘ，ｙの多項式：ｆ（ｘ，ｙ）＝０で与えられている曲線を代数曲線，多項式の次数をこの曲線の次数と呼びます．次数が２より大きい代数曲線は尖点や自己交差点のような特異点をもつこともあります．

　３次曲線とはｆ（ｘ，ｙ）＝０が２変数ｘ，ｙの３次あるいは３次以下の方程式で与えられた曲線です．３次曲線の例としては，ディオクレスのシッソイド（ｘ^3＋ｘｙ^2＝ｙ^2）があげられますが，これは古代ギリシアにおいて立方体倍積問題に用いられた曲線です．また，

　　ｙ＝ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１

　　ｙ^3＝ｘｙ^2−２ｘ^2ｙ＋ｙ−３

なども３次曲線で，一般式の項数は１０になります．そこで，・・・

（Ｑ）平面内ｎ次曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０の一般式の項数は？

（Ａ）3Ｈn＝n+2Ｃn＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）／２

　２次曲線の分類については，３種類の円錐曲線，すなわち楕円，双曲線，放物線になることは既に述べたとおりですが，同じことをもっと高次の曲線・曲面に対して考えるのは自然なことでしょう．３次曲線の分類には，２次曲線とは異なった種類の難解さが要求されましたが，ニュートンはあらゆる場合を考察して，最終的に３次曲線は全部で７８種類が必要であることを示すに至り，さらに３次曲線の一般式が５個の標準形に帰することを示しました．

　ニュートンの３次曲線の分類に引き続いて，オイラーは４次平面曲線の分類を企てましたが，可能な場合の数が非常に多いという理由で断念しています．この問題に対する答えは長い間知られていなかったのですが，プリュッカーが１９世紀に４次曲線の１５２の型を数え上げることによって解かれました．

　また，一直線上にない３点を通る２次曲線，４点を通る３次曲線はただひとつ存在しますが，それは座標軸の方向が定まっている場合：

　　ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ，ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ

のようにｙ＝ｆ（ｘ）の場合であって，一般には，平面上の任意の位置にある５点が唯一の円錐曲線を決定します．ニュートンは「プリンキピア」のなかで５点を通る円錐曲線の作図法などを案出しながら壮大な天体力学を展開しています．

　ｎ次平面代数曲線の方程式ｆ（ｘ，ｙ）＝０は，（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２個の係数をもっていますが，ｆに定数を掛けても曲線は変わりませんから，ｎ次曲線はｎ（ｎ＋３）／２個のパラメータに依っていることになります．そこで，平面内に与えられたｎ（ｎ＋３）／２個の点（ｘi，ｙi）を通るという条件によって曲線を決定するという問題が自然に提起されます．ニュートンはこうした研究を応用して，２次曲線上の５点，３次曲線上の７点が与えられた場合にこれを作図する方法を見いだしたのです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝