【１】２次曲線

　２変数ｘ，ｙの多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０で定義される曲線を平面代数曲線と呼びます．ｆ（ｘ，ｙ）＝０が２次式の場合，その一般式は，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^2＋ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０

のごとく，項数６の多項式として書くことができます．２次曲線には楕円，放物線，双曲線があり，それらは円錐（必ずしも直円錐でなくてよい）を平面で切断したときの切り口として現れる一群の曲線，すなわち円錐曲線です．

　２次曲線上の点Ｐ（ｘ0，ｙ0）における接線の方程式は，受験生なら誰でも知っていることなのですが，両辺をｘで微分して

　　ｆ’（ｘ）＝２ａｘ＋ｈｙ＋ｈｘｙ’＋２ｂｙｙ’＋ｃ＋ｄｙ’＝０

より

　　（ｈｘ＋２ｂｙ＋ｄ）ｙ’＋２ａｘ＋ｈｙ＋ｃ＝０

したがって，点Ｐ（ｘ0，ｙ0）における接線の傾きｍは

　　ｍ＝−（２ａｘ0＋ｈｙ0＋ｃ）／（ｈｘ0＋２ｂｙ0＋ｄ）

　接線の方程式：ｙ−ｙ0＝ｍ（ｘ−ｘ0）に代入して整理すると

　　ａｘ0ｘ＋ｈ（ｘｙ0＋ｘ0ｙ）／２＋ｂｙ0ｙ＋ｃ（ｘ＋ｘ0）／２＋ｄ（ｙ＋ｙ0）／２＋ｅ＝０

となります．

　これを

　　ａｘ^2＋ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０

と比較すると，接線の方程式を求めるには

　　ｘ^2→ｘ0ｘ，ｙ^2→ｙ0ｙ，ｘｙ→（ｘｙ0＋ｘ0ｙ）／２，

　　ｘ→（ｘ＋ｘ0）／２，ｙ→（ｙ＋ｙ0）／２，ｅ→ｅ（定数項）

と置換すればよいことがわかります．

　たとえば，

　　円：ｘ^2＋ｙ^2＝ｒ^2の接線　→　ｘ0ｘ＋ｙ0ｙ＝ｒ^2

　　放物線：ｙ^2＝４ｐｘの接線　→　ｙ0ｙ＝２ｐ（ｘ＋ｘ0）

といった具合です．

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