（その３９）をやり直し

(1,R)を焦点とする楕円・放物線・双曲線(x^2/a^2+y^2/b^2=1,y^2=4px,x^2/a^2-y^2/b^2=1)を求めたい

軸はy=tan(mθ)x

(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)を通る。

(x,y)を標準的な座標(x^2/a^2+y^2/b^2=1,y^2=4px,x^2/a^2-y^2/b^2=1)とすると

X-1=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-R=[sinmθ, cosmθ][y]

y^2=4px,x=pt^2,y=2pt,(p+α)^2=1+R^2であってp^2=1+R^2ではない

(x1,y1)における接線はy1y=2p(x+x1)

y=0→x=-x1

(-x1,0)から(x1,y1)までの距離は1

R=tan(mθ)=cot(θ/2)

cos(mθ)=sin(θ/2)

sin(mθ)=cos(θ/2)

y^2=4pxをy=tan(mθ)を軸とする放物線に写したい。

円の場合は(1,R)が焦点、(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)が接点となっていた。両方を同時に満たすことを考える

図を描いてみると両方を満たすことは不可能なのかもしれない・・・

焦点が(1,R)がないと面積計算は難しい

一方、接点が(1,0)にないと面積が大きくなってしまう。

発想を変えて、星状集合ではなく、単連結集合ができたと考えればよいのかもしれない

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焦点が(1,R)であることを優先させる

p＜(1+R^2)^1/2

X-α=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][y]

(x1,-√(4px))→(1,0)

(x1,√(4px))→(cos2mθ,sin2mθ)

(1,0)を通るための条件は

1-α=cosmθ・pt^2+sin(mθ)・2pt

0-β=＝sinmθ・pt^2-cosmθ・2pt

２つの２次方程式は共通解を持たなければならない

cosmθ・pt^2+sin(mθ)・2pt+α-1=0

sinmθ・pt^2-cosmθ・2pt+β=0

(α,β)=(1/2・cos(mθ)^2,1/2・cos(mθ)sin(mθ)),β=tan(mθ)

cosmθ・pt^2+sin(mθ)・2pt+(1/2・cos(mθ)^2-1)=0

sinmθ・pt^2-cosmθ・2pt+1/2・cos(mθ)sin(mθ)=0

{-sin(mθ)・p+/-{sin(mθ)^2・p^2-cosmθ・p(1/2・cos(mθ)^2-1)}^1/2}/cos(mθ)}

={cos(mθ)・p+/-{cos(mθ)^2・p^2-sinmθ・p1/2・cos(mθ)sin(mθ)}^1/2}/sin(mθ)}

{-sin(mθ)^2・p+/-sin(mθ){sin(mθ)^2・p^2-cosmθ・p(1/2・cos(mθ)^2-1)}^1/2

={cos(mθ)^2・p+/-cos(mθ){cos(mθ)^2・p^2-sinmθ・p1/2・cos(mθ)sin(mθ)}^1/2}

-sin(mθ)^2・pとcos(mθ)^2が等しいとする・・・あるいは √の中を比較すると

sin(mθ)^2・p^2-cosmθ・p(1/2・cos(mθ)^2-1)＝(1-c^2)・p^2-c・p(1/2・c^2-1)=(1-c^2)・p^2-p・c(1/2・c^2-1)

cos(mθ)^2・p^2-sinmθ・p・1/2・cos(mθ)sin(mθ)=c^2・p^2-1/2(1-c^2)c・p

一般的には等しくならない

互いの解を比較する(数値計算的に比較するほうが手っ取り早い）あるいは

(cosmθ・pt^2+sin(mθ)・2pt+α-1)^2+(sinmθ・pt^2-cosmθ・2pt+β)^2=0としてもよいかもしれないが、4次方程式となってしまう。

直観的には２つの２次方程式が同じものにならなければならないが、それはありそうにない

同じ理由で、楕円・双曲線も存在しないと思われる

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ｘ軸、y=tan(2mθ)・xが接線,(1,0)が接点になる条件を用いると放物線の頂点(0,0)は

(α,β)=(1/2・cos(mθ)^2,1/2・cos(mθ)sin(mθ))=(α,β)に移ることがわかる

焦点(1,R)とこの点の距離がｐなので、

p^2=(1-1/2・cos(mθ)^2)^2+(R-1/2・cos(mθ)sin(mθ))^2

=1-cos(mθ)^2+1/4・cos(mθ)^4+R^2-Rcos(mθ)sin(mθ)+1/4・cos(mθ)^2sin(mθ)^2

=1-cos(mθ)^2+1/4・cos(mθ)^4+R^2-sin(mθ)^2+1/4・cos(mθ)^2sin(mθ)^2

=1/4・cos(mθ)^4+R^2+1/4・cos(mθ)^2sin(mθ)^2

=1/4・cos(mθ)^2+R^2

したがって、焦点が(1,R),頂点が(α,β)=(1/2・cos(mθ)^2,1/2・cos(mθ)sin(mθ))になる放物線を求めて描いているだけである

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X-α=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][+/-√(4px)]

でもよいが

X-α=[cosmθ,-sinmθ][pt^2]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][2pt]としてy=tanθ・xとの交点(rcosθ,rsinθ)を求める。ｔは2次方程式の根の小さいほう

rcosθ-α=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt

rsinθ-β=sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt

rcosθ=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α

rsinθ=sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β

tanθ=(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β)/(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α), (α,β)=(1/2・cos(mθ)^2,1/2・cos(mθ)sin(mθ))

を解いてtを求める。

(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β)=tanθ(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α)

a=(sinmθ-tanθcosmθ)・p

b=(cosmθ+tanθsinmθ)・p

c=β-tanθα

r^2=(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α)^2+(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β)^2

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反対方向に回転させた場合（あるいはYを反転させてもよい）

X-α=[cosmθ,-sinmθ][pt^2]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][2pt]

X=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α

Y=-sinmθ・pt^2-cosmθ・2pt-β,ｔは2次方程式の根の大きいほう

(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)を結ぶ直線

Y=(rsin2θ-rsinθ)/(-rcos2θ-rcosθ)・(X-rcosθ)+rsinθ

との交点を求める

(Y-rsinθ)(-rcos2θ-rcosθ)=(rsin2θ-rsinθ)・(X-rcosθ)

(-sinmθ・pt^2-cosmθ・2pt-β-rsinθ)(-rcos2θ-rcosθ)=(rsin2θ-rsinθ)・(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α-rcosθ)

(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β+rsinθ)(rcos2θ+rcosθ)=(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α-rcosθ)(rsin2θ-rsinθ)

a={sinmθ(rcos2θ+rcosθ)-cosmθ(rsin2θ-rsinθ)}・p

b=[cosmθ(rcos2θ+rcosθ)+sinmθ(rsin2θ-rsinθ)}・p

c=(β+rsinθ)(rcos2θ+rcosθ)-(α-rcosθ)(rsin2θ-rsinθ)

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(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)の中点((rcosθ-rcos2θ)/2,((rsinθ+rsin2θ)/2)

からの距離の2乗

2Lと1+rの比較が問題となる

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