（その３９）をやり直し

(1,R)を焦点とする楕円・放物線・双曲線(x^2/a^2+y^2/b^2=1,y^2=4px,x^2/a^2-y^2/b^2=1)を求めたい

軸はy=tan(mθ)x

(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)を通る。

(x,y)を標準的な座標(x^2/a^2+y^2/b^2=1,y^2=4px,x^2/a^2-y^2/b^2=1)とすると

X-1=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-R=[sinmθ, cosmθ][y]

y^2=4px,x=pt^2,y=2pt,(p+α)^2=1+R^2であってp^2=1+R^2ではない

(x1,y1)における接線はy1y=2p(x+x1)

y=0→x=-x1

(-x1,0)から(x1,y1)までの距離は1

R=tan(mθ)=cot(θ/2)

cos(mθ)=sin(θ/2)

sin(mθ)=cos(θ/2)

y^2=4pxをy=tan(mθ)を軸とする放物線に写したい。

円の場合は(1,R)が焦点、(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)が接点となっていた。両方を同時に満たすことを考える

図を描いてみると両方を満たすことは不可能なのかもしれない・・・

焦点が(1,R)がないと面積計算は難しい

一方、接点が(1,0)にないと面積が大きくなってしまう。

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焦点が(1,R)であることを優先させる

p＜(1+R^2)^1/2

X-α=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][y]

(x1,-√(4px))→(1,0)

(x1,√(4px))→(cos2mθ,sin2mθ)

(1,0)を通るための条件は

1-α=cosmθ・x+sin(mθ)・√(4px)

0-β=＝sinmθ・x-cosmθ・√(4px)

(1-α)^2+β^2=x^2+4px

これが解を持つための判別式は

D=4p^2-(1-α)^2-α^2(tanmθ)^2=4p^2-α^2(1+R^2)+2α-1

(α^2+β^2)^1/2＜(1+R^2)^1/2-p

β=αtanmθ

α(1+R^2)^1/2＜(1+R^2)^1/2-p

p＜(1-α)(1+R^2)^1/2

p^2＜(1-α)^2(1+R^2)

(1-α)^2+β^2=x^2+4px

これが解を持つための判別式は

D=4p^2-(1-α)^2-α^2(tanmθ)^2=4p^2-α^2(1+R^2)+2α

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ｘ軸、y=tan(2mθ)・xが接線,(1,0)が接点になる条件を用いると放物線の頂点(0,0)は

(α,β)=(1/2・cos(mθ)^2,1/2・cos(mθ)sin(mθ))=(α,β)に移ることがわかる

焦点(1,R)とこの点の距離がｐなので、

p^2=(1-1/2・cos(mθ)^2)^2+(R-1/2・cos(mθ)sin(mθ))^2

=1-cos(mθ)^2+1/4・cos(mθ)^4+R^2-Rcos(mθ)sin(mθ)+1/4・cos(mθ)^2sin(mθ)^2

=1-cos(mθ)^2+1/4・cos(mθ)^4+R^2-sin(mθ)^2+1/4・cos(mθ)^2sin(mθ)^2

=1/4・cos(mθ)^4+R^2+1/4・cos(mθ)^2sin(mθ)^2

=1/4・cos(mθ)^2+R^2

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X-α=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][+/-√(4px)]

でもよいが

X-α=[cosmθ,-sinmθ][pt^2]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][2pt]としてy=tanθ・xとの交点(rcosθ,rsinθ)を求める。ｔは2次方程式の根の小さいほう

rcosθ-α=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt

rsinθ-β=sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt

rcosθ=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α

rsinθ=sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β

tanθ=(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β)/(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α), (α,β)=(1/2・cos(mθ)^2,1/2・cos(mθ)sin(mθ))

を解いてtを求める。

(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β)=tanθ(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α)

a=(sinmθ-tanθcosmθ)・p

b=(cosmθ+tanθsinmθ)・p

c=β-tanθα

r^2=(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α)^2+(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β)^2

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反対方向に回転させた場合（あるいはYを反転させてもよい）

X-α=[cosmθ,-sinmθ][pt^2]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][2pt]

X=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α

Y=-sinmθ・pt^2-cosmθ・2pt-β,ｔは2次方程式の根の大きいほう

(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)を結ぶ直線

Y=(rsin2θ-rsinθ)/(-rcos2θ-rcosθ)・(X-rcosθ)+rsinθ

との交点を求める

(Y-rsinθ)(-rcos2θ-rcosθ)=(rsin2θ-rsinθ)・(X-rcosθ)

(-sinmθ・pt^2-cosmθ・2pt-β-rsinθ)(-rcos2θ-rcosθ)=(rsin2θ-rsinθ)・(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α-rcosθ)

(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β+rsinθ)(rcos2θ+rcosθ)=(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α-rcosθ)(rsin2θ-rsinθ)

a={sinmθ(rcos2θ+rcosθ)-cosmθ(rsin2θ-rsinθ)}・p

b=[cosmθ(rcos2θ+rcosθ)+sinmθ(rsin2θ-rsinθ)}・p

c=(β+rsinθ)(rcos2θ+rcosθ)-(α-rcosθ)(rsin2θ-rsinθ)

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(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)の中点((rcosθ-rcos2θ)/2,((rsinθ+rsin2θ)/2)

からの距離の2乗

2Lと1+rの比較が問題となる

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