（その４１）をやり直し

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

θ=π/n、m=(n-1)/2として、掛谷定数の計算をリパラメトライズしておきたい。

ｎ芒星では三角おむすび状の図形がｎ個出現する。

原点からお結びの頂点までの距離をrとすると、おむすびの頂点は(x,y)=(rcosθ,rsinθ)

また、弧の半径をRとする。

(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)で接線をひくとR=tan(mθ)=cot(θ/2)として,その中心は(1,R)となることがわかる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(1,R)を焦点とする楕円・放物線・双曲線(x^2/a^2+y^2/b^2=1,y^2=4px,x^2/a^2-y^2/b^2=1)を求めたい

軸はy=tan(nθ)x

(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)を通る。

(x,y)を標準的な座標(x^2/a^2+y^2/b^2=1,y^2=4px,x^2/a^2-y^2/b^2=1)とすると

X-1=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-R=[sinmθ, cosmθ][y]

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

極座標r=L/(1+ecos(t)),(r,t)のほうが使いやすい。

放物線の場合を考える。e=1

y^2=4pxは(p,2p)を通るから,L=2p,r=L/(1+cos(t))

(1,0)を通るからt=-π/2-mθ

(cos2mθ,sin2mθ)を通るからt=π/2+mθ

t=[-(π/2-mθ),(π/2-mθ)]

S=1/2∫r^2dt

e=1のときしか計算は難しそうである。

r=L/(1+cost)=L/2{cos(t/2)}^2

r^2=L^2/4{cos(t/2)}^4・・・この不定積分は既知である

t/2=u

dt=2du

S=1/2∫r^2dt=∫r^2du=L^2/4・sinu(2(cosu)^2+1)/3(cosu)^3=L^2/4・{1/3・(tanu)^3+tanu}

γ=arctan{(1-rcosθ)/(R-rsinθ)}とおくと、ｔ=[π/2-mθ-γ,π/2-mθ]

u=[-(π/2-mθ)/2-γ/2,(π/2-mθ)/2]

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

r=L/(1+ecos(t))

S=1/2∫r^2dt=-1/(1-e^2)・{esint/(1+ecost)-∫dt/(1+ecost)}これ以上は計算できないだろうか？

∫dt/(1+ecost)は

e＞1,1/(e^2-1)^1/2・ln{(e^2-1)^1/2tan(t/2)+1+e}/{(e^2-1)^1/2tan(t/2)-1-e}

e＜1,2/(1-e^2-1)^1/2・arctan{(1-e^2)^1/2tan(t/2)}/{1+e}

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

S1=1/2・(tanθ-θ)

S2=1/2・(1-rcosθ)・(R-tanθ)

S3=1/2・R^2arctan{(1-rcosθ)/(R-rsinθ)}円の場合とここが違うだけ

おむすびの面積は

S4=(S3-S1-S2)x2となる

S=π-ｎS4

L=1+r

S/L^2→?

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

S1→1/2・(θ^3/3+・・・)→0

n・S1→ｎ/2・(θ^3/3+・・・)→0

S2→1/2・(1-r)・(R-tanθ))

n・S2→n/2・(1-r)・R-1/2・(1-r)・(n・tanθ)→n/2・(1-r)・R-1/2・(1-r)・π

n・tanθ→π

S3→1/2・R^2arctan{(1-r)/(R)・{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}

=1/2・R^2・{(1-r)/(R)・{{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}-1/3{(1-r)/(R)}^3{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}^3+・・・}

=1/2・(1-r)・R+1/2・(1-r)(rsinθ)+1/2・(1-r)(rsinθ)^2/R・・・-1/6・(1-r)^3/R+・・・}

n・S3→n/2・(1-r)・R+n/2・(1-r)(rsinθ)-n/6(1-r)^3/R+・・・→n/2・(1-r)・R+1/2・(1-r)rπ-1/12・(1-r)^3π+・・・

n・sinθ→π

n/R→π/2

r→3-√8

n・(S3-S1-S2)→1/2・(1-r)(1+r)π-1/12・(1-r)^3π =1/12・(1-r){6(1+r)-(1-r)^2}=1/12・(1-r){5+8r-r^2}π

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

2nS4=1/6・(1-r){5+8r-r^2}π→1/6・(-2+√8)(12-2√8)π

S=π-2nS4=1/6・(6-(-40+16√8)=1/6・(46-16√8)

S/L^2=S/(4-√8)^2=S/(24-8√8)=1/24・(5-2√2)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝