（その４１）をやり直し

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θ=π/n、m=(n-1)/2として、掛谷定数の計算をリパラメトライズしておきたい。

ｎ芒星では三角おむすび状の図形がｎ個出現する。

原点からお結びの頂点までの距離をrとすると、おむすびの頂点は(x,y)=(rcosθ,rsinθ)

また、弧の半径をRとする。

(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)で接線をひくとR=tan(mθ)=cot(θ/2)として,その中心は(1,R)となることがわかる

Rsinθ=2{cos(θ/2)}^2

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(1,R)を焦点とする楕円・放物線・双曲線(x^2/a^2+y^2/b^2=1,y^2=4px,x^2/a^2-y^2/b^2=1)を求めたい

軸はy=tan(nθ)x

(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)を通る。

(x,y)を標準的な座標(x^2/a^2+y^2/b^2=1,y^2=4px,x^2/a^2-y^2/b^2=1)とすると

X-1=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-R=[sinmθ, cosmθ][y]

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極座標r=L/(1+ecos(t)),(r,t)のほうが使いやすいかもしれない。

放物線の場合を考える。e=1

y^2=4pxは(p,2p)を通るから,L=2p,r=L/(1+cos(t))

(1,0)を通るからt=-π/2-mθ

(cos2mθ,sin2mθ)を通るからt=π/2+mθ

t=[-(π/2-mθ),(π/2-mθ)]

S=1/2∫r^2dt

e=1のときしか計算は難しそうである。

r=L/(1+cost)=L/2{cos(t/2)}^2

r^2=L^2/4{cos(t/2)}^4・・・この不定積分は既知である

t/2=u

dt=2du

S=1/2∫r^2dt=∫r^2du=L^2/4・sinu(2(cosu)^2+1)/3(cosu)^3=L^2/4・{1/3・(tanu)^3+tanu}

u=[-(π/2-mθ)/2,(π/2-mθ)/2]

これで面積は測れるようになったが、あとは交点が求められるかである

r=L/(1+ecos(t))

S=1/2∫r^2dt=-1/(1-e^2)・{esint/(1+ecost)-∫dt/(1+ecost)}これ以上は計算できないだろうか？

∫dt/(1+ecost)は

e＞1,1/(e^2-1)^1/2・ln{(e^2-1)^1/2tan(t/2)+1+e}/{(e^2-1)^1/2tan(t/2)-1-e}

e＜1,2/(1-e^2-1)^1/2・arctan{(1-e^2)^1/2tan(t/2)}/{1+e}

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S1=1/2・(tanθ-θ)

S2=1/2・(1-rcosθ)・(R-tanθ)・・・このｒは計算可能である

S3=1/2・R^2arctan{(1-rcosθ)/(R-rsinθ)}ここが違うだけ・・・このｒは計算可能である

γ=arctan{(1-rcosθ)/(R-rsinθ)}とおくと、ｔ=[π/2-mθ-γ,π/2-mθ]＝[θ/2-γ,θ/2]

S3=L^2/4・{1/3・(tan(θ/4)^3+tan(θ/4)}-L^2/4・{1/3・(tan(θ/4-γ/2))^3+tan(θ/4-γ/2)}

=L^2/4・{1/3・(tan(θ/4)^3+tan(θ/4)}-L^2/4・{1/3・(tan(θ/4-γ/2))^3+tan(θ/4-γ/2)}

=L^2/12・{(tan(θ/4)^3-(tan(θ/4-γ/2))^3}+L^2/4・{tan(θ/4)-tan(θ/4-γ/2)}

=L^2/12・{tan(θ/4)-tan(θ/4-γ/2)}{tan(θ/4)^2+tan(θ/4)tan(θ/4-γ/2)+tan(θ/4-γ/2)^2}+3L^2/12・{tan(θ/4)-tan(θ/4-γ/2)}

=L^2/12・{tan(θ/4)-tan(θ/4-γ/2)}{tan(θ/4)^2+tan(θ/4)tan(θ/4-γ/2)+tan(θ/4-γ/2)^2+3}

γ=arctan{(1-rcosθ)/(R-rsinθ)}→arctan{(1-r)/(R)・{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}

＝{(1-r)/(R)・{{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}-1/3{(1-r)/(R)}^3{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}^3+・・・}

L=2p

p→∞なので、計算誤差が出やすい

S3=L^2/4・{1/3・(tan(θ/4)^3+tan(θ/4)}-L^2/4・{1/3・(tan(θ/4-γ/2))^3+tan(θ/4-γ/2)}

=L^2/4・{1/3・(tan(θ/4)^3+tan(θ/4)}-L^2/4・{1/3・(tan(θ/4)-tan(γ/2))^3/(1+tan(θ/4)tan(γ/2))^3+(tan(θ/4)-tan(γ/2))/(1+tan(θ/4)tan(γ/2))}

L=2pを考慮しなければ

S3→L^2/4・{1/3・(tan(γ/2))^3+tan(γ/2))}

(1-rcosθ)/(R-rsinθ)→(1-r)/(R)・{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}→(1-r)/(R)

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おむすびの面積は

S4=(S3-S1-S2)x2となる

S=π-ｎS4

L=1+r

S/L^2→?

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S1→1/2・(θ^3/3+・・・)→0

n・S1→ｎ/2・(θ^3/3+・・・)→0

S2→1/2・(1-r)・(R-tanθ))

n・S2→n/2・(1-r)・R-1/2・(1-r)・(n・tanθ)→n/2・(1-r)・R-1/2・(1-r)・π

n・tanθ→π

S3→1/2・R^2arctan{(1-r)/(R)・{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}

=1/2・R^2・{(1-r)/(R)・{{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}-1/3{(1-r)/(R)}^3{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}^3+・・・}

=1/2・(1-r)・R+1/2・(1-r)(rsinθ)+1/2・(1-r)(rsinθ)^2/R・・・-1/6・(1-r)^3/R+・・・}

n・S3→n/2・(1-r)・R+n/2・(1-r)(rsinθ)-n/6(1-r)^3/R+・・・→n/2・(1-r)・R+1/2・(1-r)rπ-1/12・(1-r)^3π+・・・

n・sinθ→π

n/R→π/2

r→3-√8

n・(S3-S1-S2)→1/2・(1-r)(1+r)π-1/12・(1-r)^3π =1/12・(1-r){6(1+r)-(1-r)^2}=1/12・(1-r){5+8r-r^2}π

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2nS4=1/6・(1-r){5+8r-r^2}π→1/6・(-2+√8)(12-2√8)π

S=π-2nS4=1/6・(6-(-40+16√8)=1/6・(46-16√8)

S/L^2=S/(4-√8)^2=S/(24-8√8)=1/24・(5-2√2)

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弧の中点における接線の長さを求めておきたい

弧の中点までの距離は

L=(1+R^2)^1/2-R=1/cosmθ-tanmθ=(1-sinmθ)/cosmθ

弧の中点は(Lcosmθ,Lsinmθ)

接線の方程式は

y=-1/tanmθ(x-Lcosmθ)+Lsinmθ=-1/tanmθ・x+Lcosmθ/tanmθ+Lsinmθ

=-1/tanmθ・x+L/sinmθ

=-1/R・x+L/sinmθではなく・・・・

(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)を結ぶ直線

y=(rsin2θ-rsinθ/(-rcos2θ-rcosθ)・(x-rcosθ)+rsinθ

y=-sinθ(2cosθ-1)/(cosθ+1)(2cosθ-1)・(x-rcosθ)+rsinθ

y=-sinθ/(cosθ+1)・(x-rcosθ)+rsinθ

y=-tan(θ/2)・(x-rcosθ)+rsinθ

y=-tan(θ/2)・x+rcosθtan(θ/2)+rsinθ

(x-1)^2+(y+R)^2=R^2

x^2-2x+1+y^2+2Ry=0との交点は

x^2-2x+1+(-tan(θ/2)・x+rcosθtan(θ/2)+rsinθ)^2+2R(-tan(θ/2)・x+rcosθtan(θ/2)+rsinθ)=0

x^2{1+(tan(θ/2)^2}+

x{-2-2tan(θ/2)(rcosθtan(θ/2)+rsinθ)-2Rtan(θ/2)}

+1+(rcosθtan(θ/2)+rsinθ)^2+2R(rcosθtan(θ/2)+rsinθ)

の小さいほうで計算される

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極限では

R=tan(mθ)=cot(θ/2)→∞

x^2{1+(tan(θ/2)^2}+

x{-2-2tan(θ/2)(rcosθtan(θ/2)+rsinθ)-2Rtan(θ/2)}

+1+(rcosθtan(θ/2)+rsinθ)^2+2R(rcosθtan(θ/2)+rsinθ)

→x^2+x{-2-2Rtan(θ/2)}+1+2R(rcosθtan(θ/2)+rsinθ)=0

→x^2+x{-4}+1+2r+4r=0

→x=2-(4-6r-1)^1/2

弧の長さは2((x-(rcosθ-2rcos2θ)/2)^2+(y-(rsinθ+rsin2θ)/2)^2)^1/2

→2{(x-r/2)}^2+y^2}^1/2

yは-R+{R^2-(x-1)^2}^1/2

=-R+R{1-(x-1)^2/R^2}^1/2

=-R+R{1-1/2・(x-1)^2/R^2-1/8(x-1)^4/R^4-・・・}→0

弧の長さは2|x-r/2|となる

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