（その３９）をやり直し

(1,R)を焦点とする楕円・放物線・双曲線(x^2/a^2+y^2/b^2=1,y^2=4px,x^2/a^2-y^2/b^2=1)を求めたい

軸はy=tan(mθ)x

(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)を通る。

(x,y)を標準的な座標(x^2/a^2+y^2/b^2=1,y^2=4px,x^2/a^2-y^2/b^2=1)とすると

X-1=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-R=[sinmθ, cosmθ][y]

y^2=4px,x=pt^2,y=2pt,(p+α)^2=1+R^2であってp^2=1+R^2ではない

(x1,y1)における接線はy1y=2p(x+x1)

y=0→x=-x1

(-x1,0)から(x1,y1)までの距離は1

(p,0)から(x1,y1)までの距離はR・・・この場合Rでも円の場合と同じであるR=tan(mθ)=cot(θ/2)

cos(mθ)=sin(θ/2)

sin(mθ)=cos(θ/2)

4x1^2+y1^2=1

(x1-p)^2+y1^2=R^2

(x1-p)^2+1-4x1^2=R^2

p^2-2x1p-3x1^2+1=R^2

cos(mθ)=2x1→pが求まる,x1=cos(mθ)/2,y1=sinmθ

p^2-cos(mθ)p-3/4・cos(mθ)^2+1=tan(mθ)^2=-1+sec(mθ)^2

p^2-cos(mθ)p-3/4・cos(mθ)^2-sec(mθ)^2-2=0

p=1/2・(cos(mθ)+{cos(mθ)^2+3cos(mθ)^2+4sec(mθ)^2+8}^1/2)

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X-α=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][y]

(X,Y)=(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)を通るようにｔを決める。

これは誤りである。(p,0)→(1,R)

(x1,-y1)=(cos(mθ)/2,-sinmθ)→(1,0)

(x1,y1)=(cos(mθ)/2,sinmθ)→(cos2mθ,sin2mθ)

1-α=cosmθcos(mθ)/2+sin(mθ)^1=1-cos(mθ)^2/2,α=cos(mθ)^2/2

0-β=＝sinmθcos(mθ)/2-cosmθsin(mθ),β=sinmθcos(mθ)/2

cos2mθ-α=cosmθcos(mθ)/2-sin(mθ)^1

sin2mθ-β=＝sinmθcos(mθ)/2+cosmθsin(mθ)・・・OK

反対方向に回転させた場合（あるいはYを反転させてもよい）

X-α=[　cosmθ,sinmθ][x]

Y-β=[-sinmθ,cosmθ][y]

(x1,y1)=(cos(mθ)/2,sinmθ)→(1,0)

(x1,- y1)=(cos(mθ)/2,-sinmθ)→(cos2mθ,-sin2mθ)

1-α=cosmθcos(mθ)/2+sin(mθ)^1=1-cos(mθ)^2/2,α=cos(mθ)^2/2

0-β=＝-sinmθcos(mθ)/2+cosmθsin(mθ),β=-sinmθcos(mθ)/2

cos2mθ-α=cosmθcos(mθ)/2-sin(mθ)^1

-sin2mθ-β=＝-sinmθcos(mθ)/2-cosmθsin(mθ)・・・OK

この曲線は

X-α=[　cosmθ,sinmθ][x]

Y-β=[-sinmθ,cosmθ][√4px]

α=cos(mθ)^2/2

β=-sinmθcos(mθ)/2

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(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)を結ぶ直線

Y=(rsin2θ-rsinθ/(-rcos2θ-rcosθ)・(X-rcosθ)+rsinθとの交点を求めたいのであるが

その前にrが不明である。

rは

X-α=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][-√4px]

とＹ=tan(θ)Ｘとの交点(rcosθ、rsinθ)から求めることができる

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(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)を結ぶ直線

y=(rsin2θ-rsinθ/(-rcos2θ-rcosθ)・(x-rcosθ)+rsinθ

(rcosθ、-rsinθ)と(1,0)を結ぶ直線

y=(rsinθ)/(1-rcosθ)(x-rcosθ)-rsinθ

の交点を求める

(rsin2θ-rsinθ)/(-rcos2θ-rcosθ)・(x-rcosθ)-(rsinθ)/(1-rcosθ)・(x-rcosθ)=-2rsinθ

{(rsin2θ-rsinθ)(1-rcosθ)-(rsinθ)(-rcos2θ-rcosθ)}・(x-rcosθ)=-2rsinθ(-rcos2θ-rcosθ)(1-rcosθ)

ここで、n=3の場合も計算できることになる。

{(2cosθ-1)(1-rcosθ)+r(cos2θ+cosθ)}・(x-rcosθ)=2r(cos2θ+cosθ)(1-rcosθ)

{2cosθ-1-2r(cosθ)^2+rcosθ+2r(cosθ)^2-r+rcosθ)}・(x-rcosθ)=2r(cos2θ+cosθ)(1-rcosθ)

{2cosθ-1+2rcosθ-r}・(x-rcosθ)=2r(cos2θ+cosθ)(1-rcosθ)

{2cosθ(1+r)-(1+r)}・(x-rcosθ)=2r(cos2θ+cosθ)(1-rcosθ)

(2cosθ-1)(1+r)・(x-rcosθ)=2r(cosθ+1)(2cosθ-1)(1-rcosθ)

(1+r)・(x-rcosθ)=2r(cosθ+1)(1-rcosθ)

x-rcosθ=2r(cosθ+1)(1-rcosθ)/(1+r)

y+rsinθ=(rsinθ)/(1-rcosθ)・(x-rcosθ)＝2r(cosθ+1)(rsinθ)/(1+r)

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(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)の中点((rcosθ-rcos2θ)/2,((rsinθ+rsin2θ)/2)

からの距離の2乗は

L^2＝{2r(cosθ+1)(1-rcosθ)/(1+r)+rcosθ-(rcosθ-rcos2θ)/2}^2+{2r(cosθ+1)(rsinθ)/(1+r)-rsinθ-((rsinθ+rsin2θ)/2}^2

{2r(cosθ+1)(1-rcosθ)/(1+r)+r(cosθ+cos2θ)/2}^2+{2r(cosθ+1)(rsinθ)/(1+r)-r(3sinθ+sin2θ)/2}^2

{2r(cosθ+1)(1-rcosθ)/(1+r)+r(cosθ+1)(2cosθ-1))/2}^2+{2r(cosθ+1)(rsinθ)/(1+r)-rsinθ(3+2cosθ)/2}^2

={r(cosθ+1)}^2{4(1-rcosθ)/2(1+r)+(1+r)(2cosθ-1))/2(1+r)}^2+(rsinθ)^2{2r(cosθ+1)/(1+r)-(3+2cosθ)/2}^2

={r(cosθ+1)}^2{(2cosθ(1-r)+3-r)/2(1+r)}^2+(rsinθ)^2{(2cosθ(1-r)+3-r)/2(1+r)}^2

=r^2(2cosθ+2){(2cosθ(1-r)+3-r)/2(1+r)}^2

=r^2(2cos(θ/2))^2{(2cosθ(1-r)+3-r)/2(1+r)}^2

=(rcos(θ/2))^2{(2cosθ(1-r)+3-r)/(1+r)}^2

=(rcos(θ/2))^2{(2cosθ(1-r)+3-r)/(1+r)}^2

(rcos(θ/2))^2{(2cos(θ/2))^2(1-r)+(1+r))/(1+r)}^2

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2Lと1+rの比較が問題となる これにより結論自体を大きく変更せざるを得なくなった。

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n→∞のとき

２L→r(10-6r)/(1+r)

これと1+rの比較になるが

r(10-6r)/(1+r)＜1+ｒとなるのは

10r-6r^2＜1+2r+r^2

7r^2-8r+1＞0

(r-1)(7r-1)>0→r<1/7

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r=1/6

n=3: 0.318123→0.526056

n=5: 0.359868→0.379365

n=7: 0.3719

n=9: 0.37692

n=11: 0.379476

n=13: 0.380951

n=21: 0.383251

n=41: 0.384308

n=61: 0.384515

n=81: 0.384588

n=101: 0.384623

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r=1/10

n=3: 0.214719→0.725685

n=5: 0.242886→0.51794

n=7: 0.251007→0.472759

n=9: 0.254395→0.455425

n=11: 0.25612→0.446916

n=13: 0.257116→0.4421

n=21: 0.258668→0.434724

n=41: 0.259382→0.431388

n=61: 0.259521→0.430741

n=81: 0.25957→0.430511

n=101: 0.259594→0.430403

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r=1/108

n=3: 0.0236169→6.00993

n=5: 0.0267152→4.2345

n=7: 0.0276084→3.85272

n=9: 0.0279811→3.70671

n=11: 0.0281709→3.63513

n=13: 0.0282804→3.59464

n=21: 0.0284511→3.53269

n=41: 0.0285296→3.50466

n=61: 0.0285449→3.49923

n=81: 0.0285504→3.4973

n=101: 0.0285529→3.49639

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