（その１８７）ではｘ^2の項の係数を０にする変数変換（カルダノ変換）によって，

　　ｕ^3＋ｐｕ＋ｑ＝０

の形にして，このｐ，ｑを用いた形で３次方程式の根の公式を与えましたが，２次方程式の場合と同様に「３次方程式の判別式」を使っても書くことができることを示しておきます．

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　３次方程式をｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０とおいても，一般性は失われません（もし，ｘ^3の係数がａ≠１ならば，ａで両辺を割ればこの形になる）．この方程式の判別式は，

　　Ｄ＝−４ｃ^3−２７ｄ^2＋１８ｂｃｄ＋ｂ^2ｃ^2−４ｂ^3ｄ

　また，

　　Ｂ＝−２ｂ^3＋９ｂｃ−２７ｃ，

　　ｕ^3＝｛Ｂ＋３√（−３Ｄ）｝／２，

　　ｖ^3＝｛Ｂ−３√（−３Ｄ）｝／２

とおくと，ｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０の３根は，判別式Ｄを使って

　　ｘ1＝（−ｂ＋ｕ＋ｖ）／３，

　　ｘ2＝（−ｂ＋ω^2ｕ＋ωｖ）／３，

　　ｘ3＝（−ｂ＋ωｕ＋ω^2ｖ）／３

で与えられます．

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