定円の内側を転がるｎ尖点ハイポサイクロイドと外側を転がるｎ尖点エピサイクロイドで囲まれた図形を考える．このとき，動円の半径を１とすると，ｎ尖点エピサイクロイドとｎ尖点ハイポサイクロイドの間の鉢形曲線については

　　Ｌ＝（８（ｎ＋１）＋８（ｎ−１））／ｎ＝１６

　　Ｓ＝（（ｎ＋１）（ｎ＋２）−（ｎ−１）（ｎ−２））／ｎπ＝６π

が成り立つ．

　それでは，おまけ（自転・公転問題）の問題である．

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（Ｑ）円周ｍの大円がある．この円に内接しながら円周１の小円が転がるとき，１周するまでに小円は何回転するか？　また，外接しながら転がるときは何回転するか？

（Ａ）論より証拠，実際にやってみるとそれぞれｍ−１回転，ｍ＋１回転する．もちろん円周の内側と外側で長さが違うわけではない．パップス・ギュルダンの定理をもちだすまでもなく，この問題のポイントは，小円が自転しながら同時に１公転していることにある．また，大円は任意の閉曲線としても構わない．

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